貝塞爾曲掃盲(轉)

相信不少同窗都知道「貝塞爾曲線」這個詞，咱們在不少地方都能常常看到。可是，可能並非每位同窗都清楚地知道，到底什麼是「貝塞爾曲線」，又是什麼特色讓它有這麼高的知名度。

貝塞爾曲線的數學基礎是早在 1912 年就廣爲人知的伯恩斯坦多項式。但直到 1959 年，當時就任於雪鐵龍的法國數學家 Paul de Casteljau 纔開始對它進行圖形化應用的嘗試，並提出了一種數值穩定的 de Casteljau 算法。然而貝塞爾曲線的得名，倒是因爲 1962 年另外一位就任於雷諾的法國工程師 Pierre Bézier 的普遍宣傳。他使用這種只須要不多的控制點就可以生成複雜平滑曲線的方法，來輔助汽車車體的工業設計。

正是由於控制簡便卻具備極強的描述能力，貝塞爾曲線在工業設計領域迅速獲得了普遍的應用。不只如此，在計算機圖形學領域，尤爲是矢量圖形學，貝塞爾曲線也佔有重要的地位。今天咱們最多見的一些矢量繪圖軟件，如 Flash、Illustrator、CorelDraw 等，無一例外都提供了繪製貝塞爾曲線的功能。甚至像 Photoshop 這樣的位圖編輯軟件，也把貝塞爾曲線做爲僅有的矢量繪製工具（鋼筆工具）包含其中。

貝塞爾曲線在 web 開發領域一樣佔有一席之地。CSS3 新增了 transition-timing-function 屬性，它的取值就能夠設置爲一個三次貝塞爾曲線方程。在此以前，也有很多 JavaScript 動畫庫使用貝塞爾曲線來實現美觀逼真的緩動效果。

下面咱們就經過例子來了解一下如何用 de Casteljau 算法繪製一條貝塞爾曲線。

在平面內任選 3 個不共線的點，依次用線段鏈接。

在第一條線段上任選一個點 D。計算該點到線段起點的距離 AD，與該線段總長 AB 的比例。

根據上一步獲得的比例，從第二條線段上找出對應的點 E，使得 AD:AB = BE:BC。

鏈接這兩點 DE。

重新的線段 DE 上再次找出相同比例的點 F，使得 DF:DE = AD:AB = BE:BC。

到這裏，咱們就肯定了貝塞爾曲線上的一個點 F。接下來，請稍微回想一下中學所學的極限知識，讓選取的點 D 在第一條線段上從起點 A 移動到終點 B，找出全部的貝塞爾曲線上的點 F。全部的點找出來以後，咱們也獲得了這條貝塞爾曲線。

若是你實在想象不出這個過程，不要緊，看動畫！

回過頭來看這條貝塞爾曲線，爲了肯定曲線上的一個點，須要進行兩輪取點的操做，所以咱們稱獲得的貝塞爾曲線爲二次曲線（這樣記憶很直觀，但曲線的次數實際上是由前面提到的伯恩斯坦多項式決定的）。

當控制點個數爲 4 時，狀況是怎樣的？

步驟都是相同的，只不過咱們每肯定一個貝塞爾曲線上的點，要進行三輪取點操做。如圖，AE:AB = BF:BC = CG:CD = EH:EF = FI:FG = HJ:HI，其中點 J 就是最終獲得的貝塞爾曲線上的一個點。

這樣咱們獲得的是一條三次貝塞爾曲線。

看過了二次和三次曲線，更高次的貝塞爾曲線你們應該也知道要怎麼畫了吧。那麼比二次曲線更簡單的一次（線性）貝塞爾曲線存在嗎？長什麼樣？根據前面的介紹，只要稍做思考，想必你也能猜出來了。哈！就是一條直線~

能畫曲線也能畫直線，是否是很厲害？要繪製更復雜的曲線，控制點的增長也僅僅是線性的。這一特色使其不光在工業設計領域大展拳腳，就連數學基礎很差的人也能夠比較容易地掌握，好比大多數平面美術設計師們。

上面介紹的內容並不足以展現貝塞爾曲線的真正威力。推廣到三維空間的貝塞爾曲面，以及更進一步的非均勻有理 B 樣條（NURBS），早已成爲當今計算機輔助設計（CAD）的行業標準，不管是咱們日常用到的各類產品，仍是在電影院看到的精彩大片，都少不了它們的功勞。

動態繪製貝塞爾曲線的在線演示

– 完 –