貝塞爾曲線掃盲

相信很是多同窗都知道「貝塞爾曲線」這個詞，咱們在很是多地方都能經常看到。但是，可能並不是每位同窗都清楚地知道。究竟什麼是「貝塞爾曲線」，又是什麼特色讓它有這麼高的知名度。

貝塞爾曲線的數學基礎是早在 1912 年就廣爲人知的伯恩斯坦多項式。但直到 1959 年，當時就任於雪鐵龍的法國數學家 Paul de Casteljau 才開始對它進行圖形化應用的嘗試，並提出了一種數值穩定的 de Casteljau 算法。

然而貝塞爾曲線的得名，倒是由於 1962 年還有一位就任於雷諾的法國project師 Pierre Bézier 的普遍宣傳。他使用這樣的僅僅需要很是少的控制點就行生成複雜平滑曲線的方法，來輔助汽車車體的工業設計。

正是因爲控制簡便卻具備極強的描寫敘述能力，貝塞爾曲線在工業設計領域迅速獲得了普遍的應用。不只如此，在計算機圖形學領域，尤爲是矢量圖形學。貝塞爾曲線也佔有重要的地位。今天咱們最多見的一些矢量畫圖軟件，如 Flash、Illustrator、CorelDraw 等，無一例外都提供了繪製貝塞爾曲線的功能。甚至像 Photoshop 這種位圖編輯軟件。也把貝塞爾曲線做爲僅有的矢量繪製工具（鋼筆工具）包括當中。

貝塞爾曲線在 web 開發領域相同佔有一席之地。CSS3 新增了 transition-timing-function 屬性。它的取值就可以設置爲一個三次貝塞爾曲線方程。

在此以前，也有很多 JavaScript 動畫庫使用貝塞爾曲線來實現美觀逼真的緩動效果。

如下咱們就經過樣例來了解一下怎樣用 de Casteljau 算法繪製一條貝塞爾曲線。

在平面內任選 3 個不共線的點。依次用線段鏈接。

在第一條線段上任選一個點 D。計算該點到線段起點的距離 AD。與該線段總長 AB 的比例。

依據上一步獲得的比例。從第二條線段上找出相應的點 E。使得 AD:AB= BE:BC。

鏈接這兩點 DE。

重新的線段 DE 上再次找出一樣比例的點 F，使得 DF:DE= AD:AB= BE:BC。

到這裏，咱們就肯定了貝塞爾曲線上的一個點 F。

接下來，請略微回憶一下中學所學的極限知識。讓選取的點 D 在第一條線段上從起點 A 移動到終點 B。找出所有的貝塞爾曲線上的點 F。

所有的點找出來以後，咱們也獲得了這條貝塞爾曲線。

假設你實在想象不出這個過程。不要緊，看動畫！

回過頭來看這條貝塞爾曲線，爲了肯定曲線上的一個點，需要進行兩輪取點的操做。所以咱們稱獲得的貝塞爾曲線爲二次曲線（這樣記憶很是直觀，但曲線的次數事實上是由前面提到的伯恩斯坦多項式決定的）。

當控制點個數爲 4 時。狀況是如何的？

步驟都是一樣的，僅僅只是咱們每肯定一個貝塞爾曲線上的點，要進行三輪取點操做。

如圖，AE:AB= BF:BC= CG:CD= EH:EF= FI:FG= HJ:HI，當中點 J 就是終於獲得的貝塞爾曲線上的一個點。

這樣咱們獲得的是一條三次貝塞爾曲線。

看過了二次和三次曲線，更高次的貝塞爾曲線你們應該也知道要怎麼畫了吧。

那麼比二次曲線更簡單的一次（線性）貝塞爾曲線存在嗎？長什麼樣？依據前面的介紹，僅僅要稍做思考，想必你也能猜出來了。哈。就是一條直線~

能畫曲線也能畫直線。是否是很是厲害？要繪製更復雜的曲線。控制點的添加也不過線性的。這一特色使其不光在工業設計領域大展拳腳，就連數學基礎很差的人也可以比較easy地掌握，比方大多數平面美術設計師們。

上面介紹的內容並不足以展現貝塞爾曲線的真正威力。推廣到三維空間的貝塞爾曲面，以及更進一步的非均勻有理 B 樣條（NURBS），早已成爲當今計算機輔助設計（CAD）的行業標準。不管是咱們尋常用到的各類產品，仍是在電影院看到的精彩大片。都少不了它們的功勞。

動態繪製貝塞爾曲線的在線演示

------------------------------華麗切割線------------------------------------

接下來，用貝塞爾曲線實現一個戰鬥中船體的簡單移動

local sp = cc.Sprite:create("image/skip.png")
    sp:setPosition(size.width/2, size.height/2)
    self:addChild(sp)
    
    local x, y = sp:getPosition( )
    local offsetX = 300
    local offsetY = 300
    local bezierPoint1 ={
        cc.p( x - offsetX, y ),  --2
        cc.p( x - offsetX, y + offsetY ),  --3
        cc.p( x, y + offsetY )  --4
    }

    local bezierPoint2 ={
        cc.p( x + offsetX , y + offsetY ), --5
        cc.p( x + offsetX, y ), --6
        cc.p( x, y )  --1
    }
    local duration = 2
    local bezierTo1 = cc.BezierTo:create( duration, bezierPoint1 )
    local bezierTo2 = cc.BezierTo:create( duration, bezierPoint2 )
    local action  = cc.Sequence:create(
        bezierTo1,
        bezierTo2
    )
    sp:runAction(cc.RepeatForever:create(action))

那麼，精靈大概運動軌跡如上，可以實現一個簡單的往復的一個運動。