人工智能數學基礎----矩陣

人工智能數學基礎系列文章

• 1. 人工智能數學基礎----導數

• 2. 人工智能數學基礎----矩陣

• 3. 人工智能數學基礎----線性二階近似
  
  

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今天覆習矩陣，做爲程序員，矩陣在程序中的應用想必或多或少都接觸過，特別是在圖像變化算法上的應用。

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1、矩陣

1. 定義

矩陣（Matrix）是一個按照長方陣列排列的複數或實數集合，最先來自於方程組的係數及常數所構成的方陣。這一律念由19世紀英國數學家凱利首先提出。（此定義來自百度百科）

下面經過一個方程組來聲明一個矩陣（數學符號在PC上書寫真是很麻煩，不知道誰有好用的公式符號書寫軟件推薦下）：

以上是一個三元一次方程組，根據矩陣的來源定義，有矩陣 A以下圖

2. 矩陣的運算

2.1. 矩陣的加法

從上圖中咱們能夠看出，矩陣 A和矩陣 B相加，它們都是2 x 2的矩陣，相加就是兩個矩陣對應的元素值的相加，好比：矩陣 A的一行一列元素3和矩陣 B的一行一列的元素-7相加，獲得新的矩陣的一行一列元素-4，以此類推計算出一個新的矩陣。上圖中 A+ B計算的結果和 B+ A是同樣的，符合加法的交換律。 從新定義兩個矩陣 A[2x2]和 B[2x3]：

矩陣 A是2行2列，矩陣 B是2行3列，若是 A+ B，根據上面兩個矩陣相加的計算法則，會發現矩陣 B的第三列元素沒有辦法相加。 因此結論是： 當兩個矩陣相加的時候，這兩個矩陣的維數（行列個數）必須是相同的，好比要麼都是 2x2，要麼都是3x3等等。 一樣的若是是 A+ B+ C三個或者更多的矩陣的相加計算方式也是同樣的。

2.2. 矩陣的減法

上圖能夠看出，矩陣 A- B的計算就是對應的每一個元素的相減，並且有個規律是： 矩陣 A- B = -( B- A)，同矩陣加法同樣，作減法的兩個或者多個矩陣的維數（行列個數）必須是同樣的，不然沒法進行減法運算。

2.3. 矩陣的乘法

有矩陣 A和 B，兩個矩陣相乘， A的a11（表示矩陣的第一行第一列元素）、a12 分別和 B的第一列的兩個元素相乘後相加，做爲新的矩陣的a11元素值。

上圖就很清楚的描述了，矩陣乘法的計算規則。

假設有兩個矩陣 C和 D，分別是 C· D和 D· C，很明顯計算出的結果不相同，因此一般狀況下矩陣的乘法是不知足：乘法交換律的，即： C· D≠ D· C

如上圖，你會發現也不是任何兩個矩陣都可以相乘，只有乘數矩陣A的列數和被乘矩陣B的行數相同的時候，兩個矩陣才能相乘。

3. 單位矩陣

在介紹單位矩陣以前，說介紹什麼是方陣，顧名思義，方陣就是方的，行數和列數同樣的矩陣，好比：

像上圖這樣，行列同樣的矩陣就是方陣，這很直觀也很好理解。

單位矩陣，是一直特殊的方陣，它的全部元素由0和1組成，而且對角線的元素爲1,其他元素爲0，固然一階的單位矩陣只含有一個元素1：I₁ = [1]。

以上四個方陣都是單位矩陣，分別是 I₂二階單位矩陣、 I₃三階單位矩陣、四階和五階的單位矩陣。單位矩陣的階數能夠無限擴大，好比n階的單位矩陣:

單位矩陣有一個特殊重要的性質， I· A = A， A· I = A，這裏的矩陣 A是一個和單位矩陣同個維數的方陣，不是方陣沒法和單位矩陣相乘，這個性質很容易證實，舉個例子就知道了：

反過來 A· I 也等於 A

4. 逆矩陣

如上圖，若是一個矩陣可逆，那麼就會有性質： A^-1· A= I， I是一個單位矩陣。逆矩陣的求法，如上圖所示， 逆矩陣 = 矩陣行列式的倒數值 * 矩陣A 的伴隨矩陣。當矩陣 A的行列式若是等於0，即ad - bc = 0，或者 a/c = b/d，那麼這個矩陣不存在逆矩陣（行列式的倒數1/| A|沒有定義），咱們也稱這樣的矩陣叫 「奇異矩陣」。

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（未完待續。。。。）

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