Geometric Search

幾何搜索

平衡搜索樹（BST）在幾何方面的應用，處理的內容變成幾何對象，像點，矩形。

1d range search

先來看一維的狀況，一維的範圍搜索是後面的基礎，處理的對象是在一條線上的點。這是符號表的一個小拓展，多了範圍查找（range search） 和範圍計數（range count）即但願知道給定範圍上有哪些點或是有多少點。

用無序鏈表來實現的話，插入直接放開頭，可是範圍查找和範圍計數都須要正比於 N 的時間。用有序數組來實現的話，範圍計數的時間複雜度是 logN 級別，範圍查找是 R+logN 級別（範圍內有 R 個點），插入爲了維護有序性須要的時間也和 N 成正比。因此說，高效的實現得用 BSTs，插入和範圍計數的時間複雜度都是 logN，範圍查找的則是 R+logN。

範圍計數：

範圍查找：

line segment intersection

接着咱們到二維，設想有不少水平或垂直的線段，如今但願找到全部交點。

遍歷檢查全部可能組合會是平方級別的複雜度，顯然是不可接受的，其實咱們能夠把問題轉成上面一維的狀況。

方便起見，這邊的線段沒有重合啥七七八八的狀況。假想有一條垂直的線，從左掃到右，碰到水平線段的左端點就把該線段的 y 值放入 BST，碰到水平線段的右端點就把該線段的 y 值從 BST 中移除，碰到垂直線段就以該線段的上下端點爲區間在 BST 中作範圍計數。像上面的例圖，點 2 已經從 BST 中移除了，點 4 是第一個垂直線段，範圍查找發現有個點 1，也就發現了第一個交點。

kd trees

kd 樹是 BSTs 的拓展（k 個維度），能夠高效地處理空間中的點，十分靈活，在不少應用中頗有用。就算不是幾何問題，在數據庫中你可能想知道收入在 1m - 10m 且年齡在 40 - 50 歲的人有哪些，這種場景也好用。

如今的例子正式從一維拓展到二維，範圍查找和範圍計數從區間上升到矩形，即但願知道平面上有哪些點或是有多少點在查詢的矩形上。

一個可能的作法是把平面用網格劃分，比較理想情況下是這樣的：

點的分佈比較均勻，每一個網格能夠對應一個鏈表來表示在其中的點。範圍查找的時候就檢查涉及到的網格，不用遍歷整個平面，從而提升搜索效率。

M * M 的網格，M 太大會浪費空間，過小每一個網格會有好多點，N 個點能夠考慮設爲 \(\sqrt []{N}\)。可是吧，對於幾何數據，彙集（clustering）是一個很常見的現象，無法均勻地分佈在網格上，好比像下面的地圖數據：

因此說，網格劃分不大適合咱們的應用場景，常常會有好多點在一格，否則開好多小格又會浪費空間。可是，空間劃分的想法是好的，咱們能夠用樹結構相似的遞歸把空間分紅兩半兩半。

樹節點的鍵交替用 x，y 座標，左右孩子仍是原來那樣一個小一個大，在平面上來看就是點的上下或左右。

應用方面，舉了範圍查找和搜索最近鄰居兩個例子。

range search in a 2d tree

在 x 節點比較橫座標選左右，在 y 節點比較縱座標選擇上下，就是二分吧，一次砍掉一半搜索空間。

第一次點 1 不在查詢矩形裏，接着發現矩形在左邊，右子樹立刻整個不要；接着點 1 的左孩子點 3 也不在矩形裏，但 y 座標在區間裏因此上下都要搜索；點 4 和點 1 同樣，只要搜索左邊；如今找到點 5 在矩形裏，兩個孩子爲空結束搜索；繼續返回搜索點 3 的另外一邊，點 6 也只要搜索左邊，爲空結束，至此完成整個搜索過程。

典型狀況下，2d 樹的時間複雜度爲 R+logN （R 是在矩形中的點的個數），可是吧，最壞狀況下，即便樹是平衡的，複雜度也是 \(R+\sqrt []{N}\) （課程說相關證實超綱不提）。但是，對於不少實際應用來講，2d 樹易於實現並且也值得一用。

nearest neighbor search in a 2d tree

搜索過程相似，每次選擇查詢點所在的一邊，雖然最近的點也可能在另一邊，可是通常來講在同一邊的機率大，因此這裏採起這樣的選擇。

一路找下來，更新離查詢點最近的距離和點。找到點 5 以後返回搜索點 4 的右邊，爲空繼續返回搜索點 6 的右邊，一樣爲空到了點 1 的右邊。這裏應該也能夠有是否剪枝的判斷，好像此次的編程做業就有這個，好比說如今點 5 到查詢點的距離明顯小於查詢點到點 1 所在垂直紅線的距離，那麼點 1 的右子樹就徹底能夠砍掉。

性能方面，典型狀況是 logN，最壞狀況是 N，我想了下，好比說點在圓上，而後查詢點在圓心這樣子。反正，通常來講，仍是很高效的。

interval search trees

原來一維上的研究對象是點，如今再來看看一維下的區間（線段），問題是查找和給定區間有交集的區間。

仍是用 BST 來表示，區間左端點爲鍵（這裏假定沒有重複的左端點），同時在節點裏保存後代最大的右端點。

插入新的節點的時候，經過比較左端點來找到合適位置，而後看看路徑上最大右端點是否要更新。

查找的時候，節點有交集就直接返回（先說找到任一相交區間），否則就把查詢區間左端點和左孩子的最大右端點比較，前者比較大就能夠砍掉左子樹；後者比較大就須要查找左子樹。要注意的是，第二種狀況下，左子樹可能仍是沒有相交的區間，而後！這個時候的右子樹也是不用搜索的。

要是查詢區間在左子樹沒有相交區間，右端點最大的那個區間的左端點 c 確定在前面，而右子樹的左端點又比左子樹的大，因此就像上圖那樣能夠不用找右邊了。

實現上，能夠用紅黑樹來保證對數級別的性能，找到全部相交區間的複雜度是 RlogN，就一共有 R 個相交的區間這樣。

retangle intersection

最後，把二維下的處理對象也升級爲矩形，但願知道平面上矩形相交的個數。課程說這個有實際的需求，大概是用來檢查電路板之類的，由於摩爾定律啊，平方級別的算法確定是不行的。

算法和檢查二維線段相交差很少，而後這邊假定 x，y 座標不重複。

相似的變成一維上的區間相交檢測，在 N 個矩形查找 R 個相交的複雜度是 NlogN + RlogN。

最後的最後，貼張概括：