51nod 1070 Bash遊戲 V4

題意：

有n個石子，先手第一次不能所有取完，a和b輪流操做且每一個人取的石子樹不超過上一我的取的兩倍，誰贏？

知識點：

博弈論，斐波那契博弈

解法：

這是斐波那契博弈的模板題，打表發現當n爲斐波那契數的時候b贏，不然a贏。

考慮證實：

假如一個數是斐波那契數，那麼它能夠寫成更小的兩個斐波那契數的和，那先手確定不能將小的那堆取完（取完的話後手能夠拿掉大的那一堆，由於斐波那契數列知足下一項小於當前項的兩倍）。取一部分的話，後手就把剩下的取掉，仍然留下一個斐波那契數給先手，因此先手必敗。

若是不是斐波那契數，由「齊肯多夫定理」(Zeckendorf)可得，每一個正整數均可以分解成若干個不連續不一樣的斐波那契數的和，那麼先手第一次取掉最小的那個斐波那契數，由於不連續，因此下一個確定比當前的兩倍要大，因此後手取不完，先手把剩下的那些取了，那麼先手必勝。

證畢。