數學分析理論（rudin版）筆記：實數系和複數系.1

導引

有理數集是「稀疏的」和「稠密的」。

選擇公理

考慮如下問題：容易找到兩個無理數 a, b 使 a + b 爲有理數，或者使 ab 爲有理數，可是可否使得 ab 也是有理數？

 

 

答：令 

 

 

若是 x 是一個有理數，則便可。

 

 

若是 x 是無理數，則令 ，而 ，則，經過Gelfond-Schneider 定理可知：若是 α ≠ 0, 1 是一個代數數，而 β 是一個代數數而非有理數，則 α^β 是一個超越數。所以， 是一個超越數，也是一個無理數。由此可證。

 

選擇公理是從一些集合作出其餘集合的幾個規則之一。這種規則的兩個典型例子是下面的命題：對於任意的集合 A，能夠做出其一切子集合的集合，稱爲 A 的冪集，還有對於任意的集合 A 和任意的性質 p，能夠做出 A 中全部具備性質 p 的元素的集合（這兩條規則分別叫作冪集公理和歸納公理）。粗略地說，選擇公理說的就是容許咱們在做出一個新集合的時候做任意屢次未加特別說明的選擇。

 

另外一個回答：令 ，則：

哪種能夠解答上文證實？

1. 若是 v 是有理數，第一種狀況能行。

2. 若是 v 是無理數，第二種狀況能行。

 

拓展1：

 

Banach和Tarski提出分球悖論，意圖以此拒絕接受選擇公理：

一個三維或者更高維球面或者球體存在一個分割，使得通過一些旋轉和平移操做後，咱們能夠獲得兩個不相交的球面或者球體，且其並集正好爲兩個和原球體等大的球。

這個悖論（或者定理）說明了不是全部的集合都是勒貝格可測集，由於勒貝格可測集的測度是旋轉和平移不變的，可是球體的測度是正的（就是球的體積不是0），若是全部子集均可測，那麼對球體的（有限）劃分，每個子集作平移旋轉以後的測度是不變的，因此不管怎樣咱們都不能獲得兩個球體的集合。

Banach-Tarski Paradox 的根本緣由是羣 SO(3)的一個特殊性質：存在a, b 是 SO(3) 的元素, 使得 <a, b> 是SO(3) 的子羣。

（SO(3) 不只僅是一個不可交換羣，它還有特殊的子羣，叫作自由羣(free group)，而且這個自由羣的生成元素(generator) 能夠是可數個（數目什麼的不重要。

首先，咱們來觀察一下由{a, b}生成的自由羣F₂的樣子，咱們把F分爲四類，其中S(a) = {x∈F2, x₁=a}，x₁表明x的第一個位置。同理，咱們能夠獲得S(b), S(a⁻¹), S(b⁻¹)，這樣咱們會獲得F的一個無交分解F₂ = {e} ⋃ S(a) ⋃ S(b) ⋃ S(a⁻¹) ⋃ S(b⁻¹)，在這幾個子集中咱們發現有這樣的性質，aS(a⁻¹) ⋃ S(a) = F₂，bS(b⁻¹) ⋃ S(b) = F₂。這個等式與咱們想要的結果已經在形式上相似了，而且一個三維空間中的全部旋轉組成了一個羣，這讓咱們但願可以發現這個羣中是否包含一個兩個元素生成的自由羣。

好比令θ = arctan(1/3)，a, b分別表明繞x軸和z軸順時針旋轉θ角，則由a, b生成的羣就是這樣的一個由兩個元素生成的自由羣。事實上，咱們只要取θ是π的無理倍，而且兩個旋轉無關，即不能經過組合的方式回到原樣，就是一組咱們能夠選取的a, b。咱們把這個羣記爲G。

咱們首先考慮球面${\mathrm{S2上的點，咱們能夠經過G對S2的一個羣做用，把S2分紅不一樣的軌道，做用方式即爲旋轉，這其實給出了一個等價關係，即兩個點在同一個等價類中當且僅當他們中間只差G中的一個旋轉。}}^{}$

${\mathrm{下面咱們將要使用選擇公理，咱們要在每個軌道中選出一個表明元素，使他們組成一個集合，記爲M，則咱們有G\times M = S2，由上，咱們給出了S2的一個無交分解S2 = M \bigcup S(a)M \bigcup S(b)M \bigcup S(a-1)M \bigcup S(b-1)M。}}^{}$${\mathrm{再根據上面討論的該自由羣的性質，咱們能夠對S2進行一個分解，因爲直接分解會致使M的重複，}}^{}$${\mathrm{因此咱們把S2分解爲如下四個部分，A1 = M \bigcup S(a)M \bigcup B，A2 = S(a-1)M\setminus B，A3 = S(b)M，A4 = S(b-1)M，其中B = a-1M \bigcup a-2M\bigcup \cdots \cdots ，}}^{}$${\mathrm{簡單驗證即可以發現，aA2 \bigcup A1 = S2，bA4 \bigcup A3 = S2。到這裏，咱們就完成了對球面上的分解的證實，至於對於整個球，咱們只需作鏈接球面與球心半徑的半開半閉區間，其中球心爲開區間端點，即可獲得最終對整個球的分解。}}^{}$

 

${\mathrm{拓展2：}}^{}$

 

Zorn引理一直被稱之爲選擇公理的等價命題。要理解Zorn公理，咱們首先要明白如下的概念：

定義1（順序） 對於給定的集合  ，若他的某些元之間能創建關係  知足：

 

• 自反性（Reflexivity）： ;

 

 

• 對稱性（Symmetry）：若  且  ，則  ;

 

• 傳遞性（Transitivity）: 若  且  , 則  ；

則稱關係「  」爲集合  中的一個順序（order）. 集  爲關於順序  的偏序集(partial ordered set).

好比一般的定義在實數域  上的"  "就是一個偏序關係，而就是關於順序"  "的偏序集. 須要注意的是，在偏序集中，並不是任意兩個元素之間都有順序.

而若是  中的任何兩個元素都有順序，咱們也稱其能夠比較（comparable），也就是說：對任意  ,  和  中至少有一個成立，則稱集合  爲關於順序  的全序集(total ordered set).

那麼根據這必定義，剛所提到的  就是關於小於等於順序"  "的全序集. 爲了理解進一步這裏的順序和通常的大於等於和小於等於的關係，咱們再舉一個例子：設  是一個非空集合，  是  的全部子集，若用包含關係"  "做爲  中某些元素間的順序，則  關於關係  成爲一個半序集，但不是全序集.

 

定義2（上、下界）設  是半序集，  是  上的關係， ，若存在  , 使得對一切  , 都有  （對應的  ）成立，則稱  爲集合  的上界（對應的下界）（upper bound & lower bound）.

又設  爲  的上界，若對  的任一上界（下界）  , 均有  (對應的  ), 則稱  爲  的上確界（對應的下确界）(supremum & infimum )，記做  (  ).

 

定義3 （極大元/極小元） 設  是半序集， 是  上的關係，  ,  . 若對一切  有要麼（i）  (  ) 成立，要麼(ii)  與  沒有關係，則稱  爲  的極大元（極小元）（maximal element/minimal element）.

 

在理解上述幾個概念的基礎下，Zorn引理敘述以下：

Zorn引理 設  是非空偏序集，若是其中的任意全序子集有上界（下界），那麼  有極大元（極小元）.

 

引理證實：採用反證法。先證實假如每一個以$x_0$爲最小元的良序子集(以$\le$爲良序關係)都有嚴格上界，那麼任意給定一個序數，$(X,\le )$中必存在良序子集(以$\le$爲良序關係)與該序數序同構.

證實採用強數學概括法。對於序數$\varnothing$來講，存在$X$的良序子集$\varnothing$與其序同構。

對於序數$k$，假設$\forall x\in k$,$X$中都存在良序集$(y,\le )$與$x$序同構(注意，若是序數$k$不是天然數，那麼在作出這個假設的時候要用到選擇公理 ，爲何?)，使得當$x_1,x_2\in k,x_1\subseteq x_2$，且$x_1$與$(y_1,\le )$序同構，$x_2$與$(y_2,\le )$序同構時，$(y_1,\le )$是$(y_2,\le )$的前段。把$(X,\le )$中全部與  屬於$k$的序數   序同構的元素$(y,\le )$並起來，造成一個集合$B=\bigcup y$, 易得$B$關於$\le$造成良序集(爲何?提示:使用這兩個結論:1.某些序數造成的類$F$，在$F$中，必存在最小的序數$min\left(F\right)$,$min\left(F\right)$含於$F$中的每個序數。2.良序集的子集必是良序集。)，且$(B,\le )$是$(X,\le )$的子集(爲何?)

當$k$不是一個極限序數，也就是說，存在序數$\beta$,使得$\beta \bigcup \left\{\beta \right\}=k$.那麼，因爲$X$裏存在良序集$(y^{\prime },\le )$與$\beta$序同構,且由假設，$(y^{\prime },\le )$存在嚴格上界$l$，因此$(y^{\prime }\bigcup \{l\},\le )$與$k$序同構。

當$k$是一個極限序數，即不存在序數$\beta$,使得$\beta \bigcup \left\{\beta \right\}=k$。那麼易得$k={\bigcup }_{\beta \in k}\beta$(爲何?)。可見此時，$k$與$(B,\le )$序同構(爲何?)。
綜上，由強數學概括法，對於任何序數，$(X,\le )$中總存在良序子集(以$\le$爲關係)與該序數序同構。

根據布拉利-福爾蒂悖論,全部的序數沒法造成一個集合，因此$X$的全部子集沒法造成一個集合(爲何?)。這與冪集公理矛盾。所以假設錯誤。即存在$(X,\le )$的良序子集(以$\le$爲良序關係)，該良序子集以$x_0$爲最小元且沒有嚴格上界。引理證畢。