《機器學習》學習筆記（二）：神經網絡

時間 2019-12-05

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在解決一些簡單的分類問題時，線性迴歸與邏輯迴歸就足以應付，但面對更加複雜的問題時（例如對圖片中車的類型進行識別），運用以前的線性模型可能就得不到理想的結果，並且因爲更大的數據量，以前方法的計算量也會變得異常龐大。所以咱們須要學習一個非線性系統：神經網絡。算法

我在學習時，主要經過Andrew Ng教授提供的網絡，並且文中多處都有借鑑Andrew Ng教授在mooc提供的資料。網絡

轉載請註明出處：http://blog.csdn.net/u010278305函數

神經網絡在解決一些複雜的非線性分類問題時，相對於線性迴歸、邏輯迴歸，都被證實是一個更好的算法。其實神經網絡也能夠看作的邏輯迴歸的組合（疊加，級聯等）。
oop

一個典型神經網絡的模型以下圖所示：學習

上述模型由3個部分組成：輸入層、隱藏層、輸出層。其中輸入層輸入特徵值，輸出層的輸出做爲咱們分類的依據。例如一個20*20大小的手寫數字圖片的識別舉例，那麼輸入層的輸入即可以是20*20=400個像素點的像素值，即模型中的a1；輸出層的輸出即可以看作是該幅圖片是0到9其中某個數字的機率。而隱藏層、輸出層中的每一個節點其實均可以看作是邏輯迴歸獲得的。邏輯迴歸的模型能夠看作這樣（以下圖所示）：this

有了神經網絡的模型，咱們的目的就是求解模型裏邊的參數theta，爲此咱們還需知道該模型的代價函數以及每個節點的「梯度值」。.net

代價函數的定義以下：code

代價函數關於每個節點處theta的梯度能夠用反向傳播算法計算出來。反向傳播算法的思想是因爲咱們沒法直觀的獲得隱藏層的輸出，但咱們已知輸出層的輸出，經過反向傳播，倒退其參數。orm

咱們以如下模型舉例，來講明反向傳播的思路、過程：blog

該模型與給出的第一個模型不一樣的是，它具備兩個隱藏層。

爲了熟悉這個模型，咱們須要先了解前向傳播的過程，對於此模型，前向傳播的過程以下：

其中，a1，z2等參數的意義能夠參照本文給出的第一個神經網絡模型，類比得出。

而後咱們定義偏差delta符號具備以下含義（以後推導梯度要用）：

偏差delta的計算過程以下：

而後咱們經過反向傳播算法求得節點的梯度，反向傳播算法的過程以下：

有了代價函數與梯度函數，咱們能夠先用數值的方法檢測咱們的梯度結果。以後咱們就能夠像以前那樣調用matlab的fminunc函數求得最優的theta參數。

須要注意的是，在初始化theta參數時，須要賦予theta隨機值，而不能是固定爲0或是什麼，這就避免了訓練以後，每一個節點的參數都是同樣的。

下面給出計算代價與梯度的代碼：

function [J grad] = nnCostFunction(nn_params, ...
                                   input_layer_size, ...
                                   hidden_layer_size, ...
                                   num_labels, ...
                                   X, y, lambda)
%NNCOSTFUNCTION Implements the neural network cost function for a two layer
%neural network which performs classification
%   [J grad] = NNCOSTFUNCTON(nn_params, hidden_layer_size, num_labels, ...
%   X, y, lambda) computes the cost and gradient of the neural network. The
%   parameters for the neural network are "unrolled" into the vector
%   nn_params and need to be converted back into the weight matrices. 
% 
%   The returned parameter grad should be a "unrolled" vector of the
%   partial derivatives of the neural network.
%

% Reshape nn_params back into the parameters Theta1 and Theta2, the weight matrices
% for our 2 layer neural network
Theta1 = reshape(nn_params(1:hidden_layer_size * (input_layer_size + 1)), ...
                 hidden_layer_size, (input_layer_size + 1));

Theta2 = reshape(nn_params((1 + (hidden_layer_size * (input_layer_size + 1))):end), ...
                 num_labels, (hidden_layer_size + 1));

% Setup some useful variables
m = size(X, 1);
         
% You need to return the following variables correctly 
J = 0;
Theta1_grad = zeros(size(Theta1));
Theta2_grad = zeros(size(Theta2));

% ====================== YOUR CODE HERE ======================
% Instructions: You should complete the code by working through the
%               following parts.
%
% Part 1: Feedforward the neural network and return the cost in the
%         variable J. After implementing Part 1, you can verify that your
%         cost function computation is correct by verifying the cost
%         computed in ex4.m
%
% Part 2: Implement the backpropagation algorithm to compute the gradients
%         Theta1_grad and Theta2_grad. You should return the partial derivatives of
%         the cost function with respect to Theta1 and Theta2 in Theta1_grad and
%         Theta2_grad, respectively. After implementing Part 2, you can check
%         that your implementation is correct by running checkNNGradients
%
%         Note: The vector y passed into the function is a vector of labels
%               containing values from 1..K. You need to map this vector into a 
%               binary vector of 1's and 0's to be used with the neural network
%               cost function.
%
%         Hint: We recommend implementing backpropagation using a for-loop
%               over the training examples if you are implementing it for the 
%               first time.
%
% Part 3: Implement regularization with the cost function and gradients.
%
%         Hint: You can implement this around the code for
%               backpropagation. That is, you can compute the gradients for
%               the regularization separately and then add them to Theta1_grad
%               and Theta2_grad from Part 2.
%
J_tmp=zeros(m,1);
for i=1:m
    y_vec=zeros(num_labels,1);
    y_vec(y(i))=1;
    a1 = [ones(1, 1) X(i,:)]';
    z2=Theta1*a1;
    a2=sigmoid(z2);
    a2=[ones(1,size(a2,2)); a2];
    z3=Theta2*a2;
    a3=sigmoid(z3);
    hThetaX=a3;
    J_tmp(i)=sum(-y_vec.*log(hThetaX)-(1-y_vec).*log(1-hThetaX));
end
J=1/m*sum(J_tmp);
J=J+lambda/(2*m)*(sum(sum(Theta1(:,2:end).^2))+sum(sum(Theta2(:,2:end).^2)));

Delta1 = zeros( hidden_layer_size, (input_layer_size + 1));
Delta2 = zeros( num_labels, (hidden_layer_size + 1));
for t=1:m
    y_vec=zeros(num_labels,1);
    y_vec(y(t))=1;
    a1 = [1 X(t,:)]';
    z2=Theta1*a1;
    a2=sigmoid(z2);
    a2=[ones(1,size(a2,2)); a2];
    z3=Theta2*a2;
    a3=sigmoid(z3);
    delta_3=a3-y_vec;
    gz2=[0;sigmoidGradient(z2)];
    delta_2=Theta2'*delta_3.*gz2;
    delta_2=delta_2(2:end);
    Delta2=Delta2+delta_3*a2';
    Delta1=Delta1+delta_2*a1';
end
Theta1_grad=1/m*Delta1;
Theta2_grad=1/m*Delta2;

Theta1(:,1)=0;
Theta1_grad=Theta1_grad+lambda/m*Theta1;
Theta2(:,1)=0;
Theta2_grad=Theta2_grad+lambda/m*Theta2;
% -------------------------------------------------------------

% =========================================================================

% Unroll gradients
grad = [Theta1_grad(:) ; Theta2_grad(:)];


end

最後總結一下，對於一個典型的神經網絡，訓練過程以下：

按照這個步驟，咱們就能夠求得神經網絡的參數theta。

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