計量經濟學導論11：波動率模型

時間 2021-02-16

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波動率模型

波動率模型

什麼是波動率？

波動率指的是資產價格的波動強弱程度，相似於機率論中隨機變量標準差的概念。波動率不能直接觀測，能夠從資產收益率中看出波動率的一些特徵。函數

爲創建波動率隨時間變化的通常模型，咱們定義波動率是收益率的條件標準差。設 \(r_t\) 是某種資產在 \(t\) 時刻的基於某時間單位的對數收益率，通常認爲 \(\{r_t\}\) 序列是先後不相關的或低階自相關的，但不是先後獨立的時間序列。ui

一元波動率模型就是試圖刻畫收益率這種自己不相關或低階自相關，但先後不獨立的模型。用 \(\mathcal{F}_{t-1}\) 表示截止到 \(t-1\) 時刻的收益率的所有歷史信息，尤爲是包括這些收益率的線性組合。考慮 \(r_t\) 在 \(\mathcal{F}_{t-1}\) 條件下的條件均值和條件方差：spa

\[\mu_t={\rm E}(r_t|\mathcal{F}_{t-1}) \ , \ \ \ \ \sigma_t^2={\rm Var}(r_t|\mathcal{F}_{t-1}) \ . \]

能夠將 \(r_t\) 分解爲：數學

\[r_t=\mu_t+a_t \ , \]

其中 \(\{a_t\}\) 爲不相關的白噪聲序列，這裏咱們對白噪聲序列假設 \({\rm E}(a_t|\mathcal{F}_{t-1})=0\) 。這個條件比不相關零均值白噪聲序列的條件要強一些。綜合以上條件，能夠有class

\[\sigma_t^2={\rm Var}(r_t|\mathcal{F}_{t-1})={\rm Var}(a_t|\mathcal{F}_{t-1})={\rm E}(a_t^2|\mathcal{F}_{t-1}) \ . \]

這裏的 \(\sigma_t\) 就是波動率，是收益率的條件標準差。變量

若是假設模型中的白噪聲 \(\{a_t\}\) 是獨立序列，則 \(\sigma_t^2\equiv\sigma^2\) ，波動率就沒有建模的可能。可是實際上，假定 \(\{a_t\}\) 是零均值不相關的白噪聲，知足 \({\rm E}(a_t|\mathcal{F}_{t-1})=0\) ，但並非獨立序列。擴展

波動率模型的主要問題就是對 \(\sigma_t^2\) 建模，這種模型叫作條件異方差模型。將收益率 \(r_t\) 分解後，有方法

\[a_t=r_t-{\rm E}(r_t|\mathcal{F}_{t-1}) \ , \]

稱 \(\{a_t\}\) 爲資產收益率 \(\{r_t\}\) 在 \(t\) 時刻的新息。\(\sigma_t^2\) 的模型稱爲 \(\{r_t\}\) 的波動率方程。im

\({\rm ARCH}\) 模型引入

自迴歸條件異方差模型，簡稱爲 \({\rm ARCH}\) 模型。這是咱們將波動率定義爲條件標準差以後，第一次提出的波動率的理論模型。di

咱們一般意義上考慮的異方差問題，是指在一個靜態模型中，隨機偏差項的方差取決於模型中的解釋變量。然而在時間序列模型中，咱們還須要對異方差的動態形式加以考慮。即便不存在一般意義上的異方差，隨機偏差項的方差還可能取決於時間序列在之前時期的波動程度。咱們用條件方差來理解這一問題。

考慮一個簡單靜態模型

\[y_t=\beta_0+\beta_1x_t+u_t \ , \]

若是該模型知足時間序列模型假設 TS.1-TS.5，則顯然 OLS 估計量仍然是 BLUE 的。這裏的同方差假設指的是 \({\rm Var}(u_t|X)\) 是一個常數。但若是改變條件，還可能存在其餘形式的異方差：

\[{\rm Var}(u_t|X,u_{t-1},u_{t-2},\cdots)={\rm Var}(u_t|X,u_{t-1})\triangleq\alpha_0+\alpha_1u_{t-1}^2 \ , \]

這就是一階自迴歸條件異方差模型。

通常地，咱們省略解釋變量條件，將 \({\rm ARCH}(1)\) 模型寫爲

\[{\rm Var}(u_t|u_{t-1},u_{t-2},\cdots)={\rm Var}(u_t|u_{t-1})\triangleq\alpha_0+\alpha_1u_{t-1}^2 \ . \]

\({\rm ARCH}(1)\) 模型

創建 \({\rm ARCH}\) 模型考慮了兩個基本思想：

(1) 隨機擾動序列 \(u_t\) 是先後不相關的，但不獨立的。

(2) 序列 \(u_t\) 的不獨立性能夠描述爲基於歷史信息的條件方差 \({\rm Var}(u_t|\mathcal{F}_{t-1})\) 能夠用二次項序列 \(u_t^2\) 的滯後項的線性組合表示。

其中 \(\mathcal{F}_{t-1}\) 指的是 \(t-1\) 期的所有信息。

在 Wooldridge 的《計量經濟學導論》中，將 \({\rm ARCH}(1)\) 模型近似設定爲

\[u_t^2=\alpha_0+\alpha_1u_{t-1}^2+v_t \ , \ \ \ \ v_t\sim{\rm WN}(0,\,\sigma_0^2) \ . \]

因爲條件方差恆正，所以在這個模型中，只有當 \(\alpha_0>0\) 且 \(\alpha_1>0\) 時該模型是有具備動態意義的。

更加廣爲使用的 \({\rm ARCH}(1)\) 模型是 Tsay 在《金融時間序列分析》中給出的模型設定：

\[u_t=\sigma_t\varepsilon_t \ , \]

\[\sigma_t^2=\alpha_0+\alpha_1u_{t-1}^2 \ , \]

其中 \(\{\varepsilon_t\}\) 是零均值標準方差的獨立同分布白噪聲 \({\rm WN}(0,\,1)\)

首先求解條件方差：

\[{\rm Var}(u_t|u_{t-1})={\rm E}(u_t^2|u_{t-1})=\sigma_t^2{\rm E}(\varepsilon_t^2)=\sigma_t^2 \]

接着求解無條件方差：

\[\begin{aligned} {\rm Var}(u_t)&={\rm E}(u_t^2)={\rm E}\left[{\rm E}(u_t^2|u_{t-1})\right]={\rm E}\left[\sigma^2_t{\rm E}(\varepsilon_t^2)\right] \\ &={\rm E}(\sigma_t^2)={\rm E}(\alpha_0+\alpha_1u_{t-1}^2)=\alpha_0+\alpha_1{\rm E}(u_{t-1}^2)\ . \end{aligned} \]

因爲 \(\{u_t\}\) 是一個零均值平穩序列，有 \({\rm E}(u_t)=0\) 和 \({\rm Var}(u_t)={\rm Var}(u_{t-1})\) ，所以

\[{\rm Var}(u_t)=\alpha_0+\alpha_1{\rm Var}(u_{t-1})=\alpha_0+\alpha_1{\rm Var}(u_{t}) \ , \]

進而有

\[{\rm Var}(u_t)=\frac{\alpha_0}{1-\alpha_1} \ . \]

這裏要求 \(0<\alpha_1<1\)

\({\rm ARCH}(m)\) 模型

進而咱們將模型擴展爲通常的 \({\rm ARCH}(m)\) 模型，首先給出模型設定：

\[u_t=\sigma_t\varepsilon_t \ , \]

\[\sigma_t^2=\alpha_0+\alpha_1u_{t-1}^2+\cdots+\alpha_mu_{t-m}^2 \]

其中 \(\{\varepsilon_t\}\) 是零均值標準方差的獨立同分布白噪聲 \({\rm WN}(0,\,1)\) ，而且 \(\alpha_0>0\ ,\ \alpha_j\geq0\ ,\ j=1,2,\cdots,m\) 。通常假設爲標準正態分佈或是標準化的 \(t\) 分佈。

另外 \(\{\alpha_j\}\) 還須要知足使得 \({\rm Var}(u_t)\) 有限的條件，相似於 \({\rm AR}(p)\) 序列的平穩性的特徵根條件，而且

\[\sum_{j=1}^m\alpha_j<1\ . \]

模型設定中的第二個方程被稱爲波動率方程。因爲該方程的右側僅出現了截止到 \(t-1\) 時刻的肯定性函數而沒有新增的隨機擾動，因此稱 \({\rm ARCH}\) 模型爲肯定性的波動率模型。

設 \(\mathcal{F}_{t-1}\) 表示 \(t-1\) 期的所有歷史信息，由 \(\{\varepsilon_t\}\) 的獨立性知 \(\{\varepsilon_t\}\) 和 \(\mathcal{F}_{t-1}\) 獨立。

相似於 \({\rm ARCH}(1)\) 模型的無條件方差，能夠利用全指望公式計算獲得 \({\rm ARCH}(m)\) 模型的無條件方差以下：

首先計算條件方差

\[\begin{aligned} {\rm Var}(u_t|u_{t-1},u_{t-2},\cdots)&= {\rm E}(u_t^2|u_{t-1},u_{t-2},\cdots) \\ &=\sigma_t^2{\rm E}(\varepsilon_t^2|u_{t-1},u_{t-2},\cdots) \\ &=\sigma_t^2 \end{aligned} \]

進而計算無條件方差

\[\begin{aligned} {\rm Var}(u_t)={\rm E}(u_t^2)&= {\rm E}\left[{\rm E}(u_t^2|u_{t-1},u_{t-2},\cdots)\right] \\ &={\rm E}(\sigma_t^2) \\ &={\rm E}(\alpha_0+\alpha_1u_{t-1}^2+\cdots+\alpha_mu_{t-m}^2) \\ &=\alpha_0+\alpha_1{\rm E}(u_{t-1}^2)+\cdots+\alpha_m{\rm E}(u_{t-m}^2)\ . \end{aligned} \]

由 \(\{u_t\}\) 的平穩性 \({\rm E}(u_t^2)={\rm E}(u_{t-1}^2)=\cdots={\rm E}(u_{t-m}^2)\) 能夠解得

\[{\rm Var}(u_t)={\rm E}(u_t^2)=\frac{\alpha_0}{1-\displaystyle\sum_{j=1}^m\alpha_j} \ . \]

以上就是經常使用的 \({\rm ARCH}\) 模型的性質。但咱們也會發現 \({\rm ARCH}(m)\) 模型的具備以下缺點：模型中引入的都是擾動項 \(u_t\) 的平方項，所以恆爲正值，沒有考慮正、負擾動對於波動率的不對稱影響。此外，\({\rm ARCH}\) 模型不能提供更多信息來幫助理解方程的來源，僅僅提供一種方法來描述條件方差是如何變化的。

\({\rm GARCH}\) 模型引入和模型設定

在以前的介紹中，\({\rm ARCH}\) 模型用來描述波動率能獲得很好的效果，但實際建模時可能須要較高的階數。提出了ARCH模型的一種重要推廣模型，稱爲 \({\rm GARCH}\) 模型。

Tsay 在《金融時間序列分析》一書中引入了對數收益率 \(r_t\) 的概念。事實上，對於一個對數收益率 \(r_t\) 的新息序列

\[u_t=r_t-{\rm E}(r_t|\mathcal{F}_{t-1}) \ , \]

經常用 \({\rm GARCH}\) 模型來刻畫 \(\{u_t\}\) 序列的性質。下面給出通常狀況下 \({\rm GARCH}(m,\,s)\) 的模型設定：

\[u_t=\sigma_t\varepsilon_t \ , \]

\[\sigma_t^2=\alpha_0+\sum_{i=1}^m\alpha_iu_{t-i}^2+\sum_{j=1}^s\beta_j\sigma_{t-j}^2 \ , \]

其中，\(\{\varepsilon_t\}\) 爲零均值單位方差的獨立同分布白噪聲序列，\(\alpha_0>0\ , \ \alpha_i\geq0\ , \ \beta_j\geq0\) ，而且

\[0<\sum_{i=1}^m\alpha_i+\sum_{j=1}^s\beta_j<1 \]

這個條件用來保證知足模型的的 \(u_t\) 無條件方差有限且不變，而條件方差 \(\sigma_t^2\) 能夠隨時間 \(t\) 的變化而變化。

\({\rm GARCH}(1,\,1)\) 模型

下面以最簡單的 \({\rm GARCH}(1,\,1)\) 模型爲例研究 \({\rm GARCH}\) 模型的性質。依然定義 \(\mathcal{F}_{t-1}\) 表示截止到 \(t-1\) 時刻的 \(u_{t-i}\) 和 \(\sigma_{t-j}\) 所包含的所有歷史信息。首先寫出模型設定：

\[u_t=\sigma_t\varepsilon_t \ , \ \ \ \ \varepsilon_t\sim{\rm i.i.d.}\,{\rm WN}(0,\,1)\ , \]

\[\sigma_t^2=\alpha_0+\alpha_1u_{t-1}^2+\beta_1\sigma_{t-1}^2\ , \]

計算出條件指望：

\[{\rm E}(u_t|\mathcal{F}_{t-1})={\rm E}(\sigma_t\varepsilon_t|\mathcal{F}_{t-1})=\sigma_t{\rm E}(\varepsilon_t|\mathcal{F}_{t-1})=0 \ . \]

這裏利用了 \(\sigma_t\in\mathcal{F}_{t-1}\) 和 \(\varepsilon_t\) 與 \(\mathcal{F}\) 獨立。
進而計算無條件指望

\[{\rm E}(u_t)={\rm E}[{\rm E}(u_t|\mathcal{F}_{t-1})]=0 \ . \]

即 \({\rm GARCH}\) 模型的新息 \(u_t\) 的無條件指望爲零。
最後利用全指望公式計算無條件方差，假設 \(\{u_t\}\) 序列存在嚴平穩解，則有

\[\begin{aligned} {\rm Var}(u_t)={\rm E}(u_t^2)&={\rm E}\left[{\rm E}(u_t^2|\mathcal{F}_{t-1})\right]={\rm E}\left[{\rm E}(\sigma_t^2\varepsilon_t^2|\mathcal{F}_{t-1})\right] \\ \\ &={\rm E}\left[\sigma_t^2{\rm E}(\varepsilon_t^2|\mathcal{F}_{t-1})\right]={\rm E}\left[\sigma_t^2{\rm E}(\varepsilon_t^2)\right] \\ \\ &={\rm E}\left[\sigma_t^2\right]={\rm E}\left[\alpha_0+\alpha_1u_{t-1}^2+\beta_1\sigma_{t-1}^2\right] \\ \\ &=\alpha_0+\alpha_1{\rm E}(u_{t-1}^2)+\beta_1{\rm E}(\sigma_{t-1}^2) \\ \\ &=\alpha_0+(\alpha_1+\beta_1){\rm E}(u_{t-1}^2)\ . \end{aligned} \]

由 \({\rm E}(u_t^2)={\rm E}(u_{t-1}^2)\) 解得

\[{\rm Var}(u_t)={\rm E}(u_t^2)=\frac{\alpha_0}{1-\alpha_1-\beta_1} \ . \]

\({\rm GARCH}(1,\,1)\) 預測波動率示例

首先寫出利用截止到 \(h\) 時刻的觀測值做一步預測的波動率模型：

\[\sigma_{h+1}^2=\alpha_0+\alpha_1u_{h}^2+\beta_1\sigma_h^2\in\mathcal{F}_h \ . \]

所以有數學指望

\[\sigma_h^2(1)={\rm E}(\sigma^2_{h+1}|\mathcal{F}_h)=\sigma_{h+1}^2=\alpha_0+\alpha_1u_{h}^2+\beta_1\sigma_h^2 \ . \]

這說明對將來波動率的一步預測能夠利用波動率模型直接給出。

繼續計算兩步預測：
利用 \(u_t=\sigma_t\varepsilon_t\) 化簡 \(\sigma_{h+2}^2\) :

\[\begin{aligned} \sigma_{h+2}^2&=\alpha_0+\alpha_1u_{h+1}^2+\beta_1\sigma_{h+1}^2 \\ \\ &=\alpha_0+\alpha_1\sigma_{h+1}^2\varepsilon_{j+1}^2+\beta_1\sigma_{h+1}^2 \\ \\ &=\alpha_0+(\alpha_1\varepsilon_{h+1}^2+\beta_1)\sigma_{h+1}^2 \ . \end{aligned} \]

\[\begin{aligned} \sigma_h^2(2)&={\rm E}(\sigma^2_{h+2}|\mathcal{F}_h) \\ \\ &={\rm E}\left[\alpha_0+(\alpha_1\varepsilon_{h+1}^2+\beta_1)\sigma_{h+1}^2|\mathcal{F}_h\right] \\ \\ &=\alpha_0+{\rm E}\left[\alpha_1\varepsilon_{h+1}^2+\beta_1|\mathcal{F}_h\right]\sigma_h^2(1) \\ \\ &=\alpha_0+\left(\alpha_1+\beta_1\right)\sigma_h^2(1) \ . \end{aligned} \]

相似地，能夠求得遞推預測公式：

\[\sigma_h^2(l)=\alpha_0+\left(\alpha_1+\beta_1\right)\sigma_h^2(l-1) \ , \]

迭代計算得

\[\sigma_h^2(l)=\frac{\alpha_0\left[1-(\alpha_1+\beta_1)^{l-1}\right]}{1-(\alpha_1+\beta_1)}+(\alpha_1+\beta_1)^{l-1}\sigma_h^2(1) \ , \]

當 \(l\to\infty\) 時，有

\[\sigma_h^2(l)\to\frac{\alpha_0}{1-(\alpha_1+\beta_1)}={\rm Var}(u_t) \ . \]

即波動率的多步條件方差預測趨於的 \(u_t\) 的無條件方差。

和 \({\rm ARCH}\) 模型相似，使用 \({\rm GARCH}\) 模型對於收益率的正負不對稱性仍然沒法反映。