計量經濟學導論13：虛擬變量與雙重差分

目錄

• 虛擬變量與雙重差分
  • 虛擬變量的模型設定
  • 虛擬變量的迴歸分析
  • 虛擬變量的綜合應用
    • 結構變化分析
    • 交互效應分析
  • 雙重差分模型
  • 雙重差分模型的優勢

虛擬變量與雙重差分

虛擬變量的模型設定

首先咱們先對解釋變量中的定性因素和定量因素做如下闡述：

• 定量因素：可直接測度、數值性的因素；
• 定性因素：屬性因素，表徵某種屬性存在與否的非數值性的因素。

在實際建模中，如何對定性因素進行迴歸分析？採用「虛擬變量」對定性變量進行量化是最經常使用的一種思路。其基本思想爲：

• 直接在迴歸模型中加入定性因素存在諸多的困難；
• 可將這些定性因素進行量化，以達到定性因素能與定量因素有着相同做用之目的；
• 有些定量因素也能夠採起分組的方式來研究。

虛擬變量設置的時候須要考慮如下的基本規則：

• 總原則爲：設置可以區分全部屬性的最少虛擬變量。
• 虛擬變量取「1」或「0」的原則，應從分析問題的目的出發予以界定。從理論上講，虛擬變量取「0」值一般表明比較的基礎類型；而虛擬變量取「1」值一般表明被比較的類型。
• 若是定性因素具備 \(m\) 個相互排斥屬性，當模型中含有截距項時，則只能引入 \(m-1\) 個虛擬變量；當模型中沒有截距項時，則能夠引入 \(m\) 個虛擬變量，不然就會陷入「虛擬變量陷阱」。
• 「虛擬變量陷阱」的實質：徹底共線性。

虛擬變量的迴歸分析

在計量經濟學中，一般引入虛擬變量的方式分爲加法方式和乘法方式兩種。

• 加法方式：

\[Y_i=\alpha_0+\beta_1X_i+u_i+\alpha_1 D_i \ . \]

• 乘法方式：

\[Y_i=\alpha_0+\beta_1X_i+u_i+\beta_2X_iD_i \ . \]

實質上，加法方式引入虛擬變量改變的是截距，乘法方式引入虛擬變量改變的是斜率。

含有虛擬變量的模型的分析手段：條件指望。

以加法方式引入虛擬變量時，主要考慮的問題是定性因素的屬性和引入虛擬變量的個數。主要有四種狀況：

• 解釋變量只有一個定性變量而無定量變量，並且定性變量爲兩種相互排斥的屬性；
• 解釋變量分別爲一個兩種屬性的定性變量和一個定量變量；
• 解釋變量分別爲一個定性變量（兩種以上屬性）和一個定量解釋變量；
• 解釋變量分別爲兩個定性變量（各自分別是兩種屬性）和一個定量解釋變量。

以乘法方式引入虛擬變量時，是在所設立的模型中，將虛擬變量與其它解釋變量的乘積，做爲新的解釋變量出如今模型中，以達到其調整設定模型斜率係數的目的。

• 截距不變的情形：\(Y_i=f(X_i,\,D_iX_i)+u_i\) ；
• 截距和斜率均發生變化的情形：\(Y_i=f(X_i,\,D_i,\,D_iX_i)+u_i\) 。

虛擬變量的綜合應用

所謂虛擬變量的綜合應用是指將引入虛擬解釋變量的加法方式、乘法方式進行綜合使用。基本分析方式仍然是條件指望分析。

結構變化分析

結構變化的實質是檢驗所設定的模型在樣本期內是否爲同一模型。顯然，平行迴歸、共點回歸、不一樣的迴歸三個模型均不是同一模型。

• 平行迴歸模型的假定是斜率保持不變（加法類型，包括方差分析）；
• 共點回歸模型的假定是截距保持不變（乘法類型，又被稱爲協方差分析）；
• 不一樣的迴歸的模型的假定是截距、斜率均爲變更的（加法、乘法類型的組合）。

例：比較改革開放先後我國居民平均「儲蓄—收入」總量關係是否發生變化？

模型設定爲 ：

\[Y_t=\alpha_1+\alpha_2D_t+\beta_1X_t+\beta_2(D_tX_t)+u_t \]

其中：\(Y_t\) 爲儲蓄總額，\(X_t\) 爲收入總額。

\[D=\left\{\begin{array}{cl} 1 \ \ , & \text{改革開放前} \\ 0 \ \ , & \text{改革開放後} \end{array}\right. \ . \]

條件指望分析：

• 改革開放後：\({\rm E}(Y_t|X_t,\,D_t=1)=\alpha_1+\alpha_2+(\beta_1+\beta_2)X_t\) ；
• 改革開放前：\({\rm E}(Y_t|X_t,\,D_t=0)=\alpha_1+\beta_1X_t\) 。

只要 \(\alpha_2\) 和 \(\beta_2\) 不一樣時爲零，上述模型就能刻畫改革開放先後我國居民平均「儲蓄—收入」模型結構是否發生變化。

交互效應分析

交互做用：一個解釋變量的邊際效應有時可能要依賴於另外一個解釋變量。

例：研究人羣的我的收入 \(Y\) 與其教育水平 \(E\) 和所在地區 \(D\) 的關係。

模型設定爲：

\[Y=\alpha_0+\alpha_1D_1+\alpha_2D_2+\alpha_3E+\alpha_4D_1E+\alpha_5D_2E+u \ , \]

其中

\[D_1=\left\{\begin{array}{cl} 1 \ \ , & \text{中部} \\ 0 \ \ , & \text{其餘} \end{array}\right. \ , \ \ \ \ D_2=\left\{\begin{array}{cl} 1 \ \ , & \text{東部} \\ 0 \ \ , & \text{其餘} \end{array}\right. \ , \ \ \ \ E=\left\{\begin{array}{cl} 1 \ \ , & \text{高等} \\ 0 \ \ , & \text{中等} \end{array}\right. \ . \]

各種人員的收入表以下：

	西部 \((0,\,0)\)	中部 \((1,\,0)\)	東部 \((0,\,1)\)
中等 \(E=0\)	\(\alpha_0\)	\(\alpha_0+\alpha_1\)	\(\alpha_0+\alpha_2\)
高等 \(E=1\)	\(\alpha_0+\alpha_3\)	\(\alpha_0+\alpha_1+\alpha_3+\alpha_4\)	\(\alpha_0+\alpha_2+\alpha_3+\alpha_5\)

差別性描述：

	中部與西部差	東部與西部差	東部與中部差
中等 \(E=0\)	\(\alpha_1\)	\(\alpha_2\)	\(\alpha_2-\alpha_1\)
高等 \(E=1\)	\(\alpha_1+\alpha_4\)	\(\alpha_2+\alpha_5\)	\(\alpha_2-\alpha_1+\alpha_5-\alpha_4\)

各種人員的收入表以下：

	西部 \((0,\,0)\)	中部 \((1,\,0)\)	東部 \((0,\,1)\)
高等與中等差	\(\alpha_3\)	\(\alpha_3+\alpha_4\)	\(\alpha_3+\alpha_5\)

雙重差分模型

雙重差分法，Differences-in-Differences，基本思想就是經過對政策實施先後對照組和實驗組之間差別的比較構造出反映政策效果的雙重差分統計量。首先強調一點，通常而言 DID 僅適用於面板數據模型，但並無嚴格意義上面板數據模型所須要的過多的假設，經過引入虛擬變量並經過最小二乘法便可實現參數估計。所以咱們在討論面板數據以前，先討論雙重差分模型的應用。

前提假設：

• 平行趨勢假設：若是實驗組的事件沒有發生，對照組和實驗組的變化趨勢相同。
• 檢驗方法：比較實驗組和對照組樣本的 \(Y\) 隨 \(t\) 的增加率在實驗前有無顯著差別。

模型設定：

\[Y_{it}=\alpha+\alpha_1d_{it}+\alpha_2T_{it}+\beta d_{it}T_{it}+\varepsilon_{it} \]

其中，\(Y_{it}\) 爲個體 \(i\) 在 \(t\) 期的結果值，

\[d_{it}=\left\{ \begin{array}{ll} 1 \ \ , & i\,\text{爲實驗組} \\ 0 \ \ , & i\,\text{爲對照組} \\ \end{array} \right. \]

\[T_{it}=\left\{ \begin{array}{ll} 1 \ \ , & \text{表示實驗後} \\ 0 \ \ , & \text{表示實驗前} \\ \end{array} \right. \]

對 DID 模型取數學指望：

對照組+實驗前

\[{\rm E}(Y_{it}|d_{it}=0,\,T_{it}=0)=\alpha \]

對照組+實驗後

\[{\rm E}(Y_{it}|d_{it}=0,\,T_{it}=1)=\alpha+\alpha_2 \]

實驗組+實驗前

\[{\rm E}(Y_{it}|d_{it}=1,\,T_{it}=0)=\alpha+\alpha_1 \]

對照組+實驗前

\[{\rm E}(Y_{it}|d_{it}=1,\,T_{it}=1)=\alpha+\alpha_1+\alpha_2+\beta \]

爲了方便對比參數設定的意義，咱們用以下的表格：

	對照組	實驗組
實驗前	\(\alpha\)	\(\alpha+\alpha_1\)
實驗後	\(\alpha+\alpha_2\)	\(\alpha+\alpha_1+\alpha_2+\beta\)
Difference	\(\alpha_2\)	\(\alpha_2+\beta\)

將雙重差分的思想與上表的內容結合，咱們能夠獲得政策的淨效應：

\[{\rm DID}=\alpha_2+\beta-\alpha_2=\beta \ . \]

關鍵：檢驗交叉項係數 \(\hat\beta\) 是否顯著。

雙重差分模型的優勢

1. 能夠很大程度上避免內生性問題的困擾：政策相對於微觀經濟主體而言通常是外生的，於是不存在逆向因果問題。此外，使用固定效應估計必定程度上也緩解了遺漏變量偏誤問題。
2. 傳統方法下評估政策效應，主要是經過設置一個政策發生與否的虛擬變量而後進行迴歸，相較而言，雙重差分法的模型設置更加科學，能更加準確地估計出政策效應。
3. 雙重差分法的原理和模型設置很簡單，容易理解和運用，並不像空間計量等方法同樣讓人望而生畏。
4. 儘管雙重差分法估計的本質就是面板數據固定效應估計，可是 DID 聽上去或多或少也要比 OLS、FE 之流更加「時尚高端」，於是 DID 的使用必定程度上能夠知足「虛榮心」。