數論——算數基本定理、歐幾里得算法、丟番圖方程

時間 2019-12-13

標籤數論算數基本定理歐幾里得算法方程简体版

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整除

【定義】對於 $a,b \in Z$ ，若是有 $q \in Z$ 使得，則稱整除，記爲.ios

關於整除有以下結論：算法

若，，且，則.

最大公因子

【定義】全部同時整除和的整數中，最大的那個，稱爲和的最大公因子，記爲，也可記爲.函數

【引理】設，這裏 $a,b,c,q\in Z$ ，則.測試

證實：因爲，全部和的公因子同時整除和，因此也能整除，因此也是和的公因子。因爲，全部和的公因子同時整除和，因此也能整除，因此也是和的公因子。也就是說，和的公因子，和的公因子是同一撥，那麼和的公因子中最大的那個，和的公因子中最大的那個固然是同一個了。因此。ui

歐幾里得算法

歐幾里德算法又稱展轉相除法，是指用於計算兩個正整數和的最大公因子。證實過程主要依據上面的引理。spa

代碼實現以下：code

#include<algorithm>
#include<iostream>

/* 歐幾里德算法：展轉求餘 原理： gcd(a,b)=gcd(b,a mod b) 當b爲0時，兩數的最大公約數即爲a */
int gcd(int a, int b){
    if (a < b){
        std::swap(a, b);
    }
    if (0 == b){
        return a;
    }else{
        return gcd(b, a % b);
    }
}

// 簡單測試
int main() {
    int t = gcd(10,25);
    std::cout<<t;
}
複製代碼

擴展歐幾里得算法

【定義】對於 $a_1,\cdots,a_n\in Z$ ，咱們稱 $a_1x_1+ \cdots + a_nx_n(x_1,\cdots,x_n\in Z)$ 爲 $a_1,\cdots,a_n$ 的整係數線性組合，並用 $a_1Z+\cdots+a_nZ$ 表示它們構成的集合。數學

【擴展歐幾里得算法】設和是兩個正整數（至少有一個非零），，則存在整數和使得成立，若是和都是素數，那麼存在整數和使得成立。string

代碼實現：it

def egcd(a,b):
    if 0 == b:
        return a,1,0
    gcd,k1,k2 = egcd(b, a%b)
    return gcd,k2,k1-a/b*k2
複製代碼

互素

最大公因子的最小可能取值是，當，即和的最大公因子爲時，咱們稱和互素。

乘法逆元

當時，有時候咱們很但願求得一個數， $0\leq k \lt b$ ，使 $ka\ mod\ b=1$ ，這樣的數咱們稱爲的乘法逆元，這看起來就像是在到這些整數中找到的倒數同樣。那怎麼找到這樣的數呢？

擴展歐幾里得算法能夠幫咱們解決這個問題。

因爲，根據擴展歐幾里得算法，可求得兩個係數和，使得，因此有，因此 $k_1a\ mod\ b=1$ ，因此 $(k_1\ mod\ b)a\ mod\ b=1$ ，而 $0\leq(k_1\ mod\ b)\lt b$ ，因此 $(k_1\ mod\ b)$ 就是咱們想要的那個乘法逆元。

算數基本定理

【算數基本定理（整數的惟一分解定理）】任何大於的整數可表示成有限個（可重複）素數的乘積，並且不計乘積中因子順序時分解仍是惟一的。

根據算數基本定理，大於的整數惟一地表示成 $p_1^{a_1}\cdot \cdots \cdot p_r^{a_r}$ 的形式，這裏 $p_1<\cdots<p_r$ 爲不一樣素數， $a_1,\cdots,a_r\in{Z^{+}}$ ，咱們稱這樣的形式爲的標準（素數）分解式。

歐拉函數

對任意一個正整數，在到的這個整數裏，顯然有些和是互素的，而有些和是不互素的，那些和互素的整數的數量就是的歐拉函數，記做 $\phi(n)$ 。

那麼 $\phi(n)$ 該怎麼計算呢？

咱們都知道任意整數均可以表示成它的全部素因子的乘積：

n=p_1^{l_1}p_2^{l_2}\cdots p_s^{l_s}\tag{1}

因此全部那些和不互素的數，必定和有其中某個素因子做爲公共因子。因此咱們只要從到中的全部整數中，是 $p_1,p_2,\cdots,p_s$ 的倍數的依次剔除，剩下的就是與互素的數。

例如，的倍數一共有多少個呢，因爲的倍數在到中是均勻分佈的，因此佔據的比例是 $\frac{1}{p_1}$ ，剔除的倍數後，還剩下 $n(1-\frac{1}{p_1})$ 個；在剩下的數中，因爲的倍數在到中也是均勻分佈的，因此佔據的比例是 $\frac{1}{p_1}$ ，因此再剔除的倍數後，剩下 $n(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})$ 個。以此類推，當把全部素因子的整數倍都剔除後，剩下的數共有 $n(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})\cdots (1-\frac{1}{p_s})$ 個。即： $\phi(n) = n\prod_{i=1}^{s}(1-\frac{1}{p_s}) \tag{2}$ $

因而可知，求歐拉函數的關鍵在於求出的全部素因子，即對作素因子分解。

有一種特殊狀況，爲素數，那麼僅有一個素因子，即它本身。此時 $\phi(n)=n(1-\frac{1}{n})=n-1$ 。

還有一種特殊狀況，僅有兩個素因子，即，那麼 $\phi(n)=pq(1-\frac{1}{p})(1-\frac{1}{q})=(p-1)(q-1)$ 。若是已知和，顯然 $\phi(n)$ 是好求的；而若是僅知道，而不知道和，那麼必需要先對作素因子分解，獲得和，才能求得 $\phi(n)$ 。

若是這兩個素因子都極大，那麼固然也就極大。要從到這個數中找出這兩個素因子，就如同大海撈針，複雜度極高。

丟番圖方程

古希臘數學家丟番圖首次系統地研究了方程的整數解問題，如今涉及整數解的方程都叫作丟番圖方程，也叫不定方程。

丟番圖方程，又稱不定方程，是未知數只能使用整數的整數係數多項式等式；即形式如 $a_1x_1^{b_1} + a_2x_2^{b_2}+\cdots +a_nx_n^{b_n}=c$ 的等式，而且其中全部的,和均是整數。若其中能找到一組整數解, $m_2\cdots m_n$ 者則稱之爲有整數解。線性丟番圖方程爲線性整數係數多項式等式，即此多項式爲次數爲或的單項式的和。

【定理】設 $a_1,\cdots,a_n,b\in Z$ ，則線性丟番圖方程 $a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n=b$ 有整數解當且僅當 $(a_1,\cdots,a_n)|b$ .