數論——約數：算數基本定理及推論，歐幾里得算法

1、算數基本定理及推論：

算數基本定理

任何一個大於1的天然數N，若是N不爲質數，均可以惟一分解成有限個質數的乘積  ，這裏均爲質數，其諸指數 是正整數。

這樣的分解稱爲N的標準分解式。

推論1

算數基本定理中N的正約數個數爲： 。

　　簡單證實一下：根據算數基本定理    可知，對於其中的任意一個pi（i∈[1，n]）,其指數取0~ai範圍任何值均能組成N的不一樣的約數，故pi的指數取法就有（ai+1）種，因此N的約數總個數即爲全部質因子p的指數取法之積（乘法原理）。

　　模板題連接：約數個數

　　代碼以下：

#include <iostream> #include <algorithm> #include <cstdio> #include <vector> #include <cmath> #include <map>

using namespace std; const int N =100+10, mod = 1e9 + 7; int n; map<int,int> t; void divide(int x) { for(int i=2;i<=sqrt(x);i++) { if(x%i==0) { int ans=0; while(x%i==0) { ans++; x/=i; } t[i]+=ans; } } if(x>1)t[x]+=1; return; } int main() { scanf("%d",&n); for(int i=1;i<=n;i++) { int a;scanf("%d",&a); divide(a); } long long ans=1; for (map<int,int>::iterator i = t.begin(); i != t.end(); i ++ ) {
        ans=ans * (long long)(i->second+1) % mod; } printf("%d\n",ans); }

推論2

算數基本定理中N的全部正約數的和爲： 

　　也簡單證實一下：要求N的全部正約數之和，只須要組合出全部N的正約數便可，不難發現，將上式展開後的全部項便是N的全部正約數。

　　模板題連接：約數之和

　　代碼以下：

#include <iostream> #include <algorithm> #include <cstdio> #include <vector> #include <cmath> #include <map>

using namespace std; const int N =100+10, mod = 1e9 + 7; int n; map<int,int> t; void divide(int x) { for(int i=2;i<=sqrt(x);i++) { if(x%i==0) { int ans=0; while(x%i==0) { ans++; x/=i; } t[i]+=ans; } } if(x>1)t[x]+=1; return; } int qin(int p,int a) { int res=1; for(int i=1;i<=a;i++) { res=((long long)res*p+1)%mod; } return res; } int main() { scanf("%d",&n); for(int i=1;i<=n;i++) { int a;scanf("%d",&a); divide(a); } long long ans=1; for (map<int,int>::iterator i = t.begin(); i != t.end(); i ++ ) { int p=i->first,a=i->second; ans=(long long)ans * qin(p,a) % mod; } printf("%d\n",ans); }

2、歐幾里得算法

對於任意的a,b∈N，b≠0，gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)，其中gcd(a,b)表示a和b的最大公約數。

　　下面給出證實：

證實：

　　要證實gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)，只要證實gcd(a,b)≤gcd(a,a mod b)，且gcd(a,b)≥gcd(b,a mod b)。

　　下面證實gcd(a,b)≤gcd(b,a mod b)：

　　設d是a和b的最大公約數，因此d | a且d | b，能夠推出 d | a mod b。

　　假設a=k*b+r（k,r均是整數，且0≤r＜b），由於d | b，因此d | kb，又由於d | a，因此d | (a - kb)，即d | (a mod b)。

　　至關於咱們有了這樣的結論：d是a和b的最大公約數，且d又是(a mod b)的約數，因此d是b和(a mod b)的公約數，因而即可推出gcd(a,b)≤gcd(b,a mod b)。

　　下面證實gcd(a,b)≥gcd(b,a mod b):

　　設d是b和(a mod b)的最大公約數，因此d | b且d | (a mod b)，能夠推出 d | a。

　　假設a=k*b+r（k,r均是整數，且0≤r＜b），由於d | b，因此d | kb，又由於d | (a - kb)，因此 d | (kb + (a - kb))，即 d | a。

　　至關於：d是a和(a mod b)的最大公約數，且d又是a的約數，因此d是a和b的公約數，因而即可推出gcd(a,b)≥gcd(b,a mod b)。

　　證畢！

　　模板題連接：最大公約數

　　代碼實現：

int gcd(int a,int b) { return b ? gcd(b,a%b) : a; }