Python3趣味系列題12-----變態曲線

一、圖形引入
首先引入下面幾個圖形：

上面的圖形均是由一簇直線構成的。直線是按照一定的規則繪製的，確定直線的2個點的縱座標逐漸減小，橫座標逐漸增大。這樣在交點處會構成一條近似的曲線，下面就是研究這條近似曲線的比較精確的表達式。
比較精確的表達式需要滿足下面2個條件：

• 該曲線需要靠近這些交點；
• 近似曲線與XY軸構成的面積和圖形與XY軸構成的面積要比較接近；

下面進行符號說明：X軸間隔爲a，Y軸的間隔爲b，直線的條數爲n。其中a，b均爲1爲標準形式。其他情形均是標準形式的一般化。

二、面積分析
對於標準形式而言，假設n=5，下面給出面積分析的結果：

從結果可知，直線簇切割形成的小圖形的面積是有規律可循的，其中最外層的面積是最小的，其面積爲1/(n+1)，越靠近原點，面積越大，並且是成比例的。因此可以得到直線簇與XY軸構成的圖形的總面積爲n(n+2)/6。面積分析的程序點擊閱讀原文可獲得。一般化的形式爲，最小面積爲ab/(n+1)，總面積爲abn(n+2)/6。下面給出a=3，b=4，n=8的面積分析結果：

三、擬合曲線
假設曲線方程具有如下形式：

下面利用積分計算其與XY軸構成的圖形的面積：

根據積分結果，可知該曲線的面積是接近直線簇構成的面積的，滿足條件2。下面對誤差進行分析：

當n大於0時，面積差函數的導數恆大於0，因此面積差函數是單調遞增的，當n=1時，取得面積差的最小值：

下面計算面積差的最大值，也就是計算：

上述給的是標準形式，對於一般形式而言，最小值和最大值分別爲：

四、結果展示

• 標準形式，其中n=15
  
• X軸間隔5，Y軸間隔3，n爲80
  
  根據右下角的圖像可知，曲線距離直線簇中的交點是比較接近的，因此滿足條件1。點擊獲得更多趣味謎題。歡迎Follow，感謝Star!!! 掃描關注微信公衆號pythonfan，獲取更多。