LeetCode 水壺問題

水壺問題

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題目來源：https://leetcode-cn.com/problems/water-and-jug-problem/

題目

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有兩個容量分別爲 x 升和 y 升的水壺以及無限多的水。請判斷可否經過使用這兩個水壺，從而能夠獲得剛好 z 升的水？

若是能夠，最後請用以上水壺中的一或兩個來盛放取得的 z 升水。

你容許：

• 裝滿任意一個水壺
• 清空任意一個水壺
• 從一個水壺向另一個水壺倒水，直到裝滿或者倒空

示例 1: (From the famous "Die Hard" example)

輸入: x = 3, y = 5, z = 4
輸出: True

示例 2:

輸入: x = 2, y = 6, z = 5
輸出: False

解題思路

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思路：裴蜀定理

裴蜀定理是關於最大公約數的定理。

對於任何整數 a、b 和 m，d 爲 a 及 b 的最大公約數，關於未知數 x 和 y 的線性不定方程：

$$ax + by = m$$

有整數解時，當且僅當 m 是 a 及 b 的最大公約數 d 的倍數。

審題可得：其實每次操做能夠認爲是讓壺裏的水總量增長 x，增長 y，減小 x，減小 y。

這裏涉及到一個壺的水不空的狀況下，那麼對於上面的結論來講明顯是不成立。不着急，這裏解釋下：

對於示例 1，題目給出 x = 3, y = 5, z = 4。

嘗試如何讓壺盛放 4 升的水。（這裏將可盛放 x 升水的壺設爲 A，可盛放 y 升水的壺設爲 B，形如 （0， 0），表示兩個壺盛放的水）

1. 首先將 B 裝滿，此時兩個壺盛放水的狀況：（0， 5）；
2. 將 B 壺的水倒入 A 中，兩個壺的狀況：（3， 2）；
3. 將 A 壺中的水倒掉，兩個壺的狀況：（0， 2）；
4. 再次將 B 壺中的水倒入 A 中，此時：（2， 0）；
5. 將 B 壺裝滿，此時兩個壺的狀況：（2， 5）；
6. 將 B 壺的水倒入 A 中直至倒滿，此時：（3， 4）。

這個時候 ，B 壺中的水爲 4 升，便是所求得結果。

• 在這裏，咱們能夠觀察到，在操做的過程當中，是不會讓兩個壺同時有水且不滿的狀況發生。
• 並且，給未滿的壺盛放水並無意義。假設給一個未滿的壺盛放水時，若是另一個壺是滿的，那這種狀況就至關於初始狀態下直接給兩個壺裝滿；若是另外一個壺是空的，那這個就至關因而直接在初始狀態下，給當前壺盛滿水。
• 一樣的，將未滿的壺中的水倒掉也是沒有意義的。假設倒掉一個未滿的壺中的水，若是另一個壺是滿的，這種狀況就至關於初始狀態下直接給另一個壺裝滿水；若是另一個壺是空的，那麼這將又回到初始的狀態。

因此這裏就能夠明確前面所得的結論：每次操做，水的總量只會帶來 x 或 y 的變化量。

如今咱們將問題轉化爲求一對整數 a，b，使得

$$ax + by = z$$

只要知足 $z \leq x+y$，表示目標可得。

注意，這裏跟上面的裴蜀定理的式子有所不一樣，這裏 a，b 表示所需求得的目標，而 x，y 已知。（與裴蜀定理式子恰好反過來）。

由題可知：

當 $a \geq 0, b \geq 0$ 時，可求得目標；

當 $a<0$ 時，則須要進行如下操做：（延用上面的 A 壺，B 壺）

• 先往 B 壺裝滿水；
• 將 B 壺的水往 A 壺倒；
• 這個時候，若是 B 壺還有水，表示 A 壺滿了。將 A 壺的水倒掉，將 B 壺剩餘的水倒入 A 壺中。

重複上面的操做，直到對 A 壺進行 a 次清空，而對 B 壺進行 b 次倒水操做。

當 $b<0$ 時，跟上面的狀況相似，將對 A 壺和 B 壺的操做調換過來便可。

根據裴蜀定理， $ax+by=z$ 有解，當且僅當 z 是 x，y 的最大公約數的倍數。因此咱們只要找到 x，y 的最大公約數，而後判斷 z 是不是這個最大公約數的倍數便可求得答案。

代碼實現

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class Solution:
    def canMeasureWater(self, x: int, y: int, z: int) -> bool:  
        import math
        if x + y < z:
            return False
        if x == 0 or y == 0:
            return z == 0 or x + y == z
        return z % math.gcd(x, y) == 0

實現結果

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以上就是根據裴蜀定理，求最大公約數，判斷是否有解來解決《水壺問題》的主要內容。

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