Python-求解兩個字符串的最長公共子序列

1、問題描述

    給定兩個字符串，求解這兩個字符串的最長公共子序列（Longest Common Sequence）。好比字符串1：BDCABA；字符串2：ABCBDAB。則這兩個字符串的最長公共子序列長度爲4，最長公共子序列是：BCBA

2、算法求解

這是一個動態規劃的題目。對於可用動態規劃求解的問題，通常有兩個特徵：①最優子結構；②重疊子問題

①最優子結構

設X=(x₁,x₂,...,x_n)和Y=(y₁,y₂,...,y_m)是兩個序列，將X和Y的最長公共子序列記爲LCS(X,Y)

找出LCS(X,Y)就是一個最優化問題。由於，咱們須要找到X和Y中最長的那個公共子序列。而要找X和Y的LCS，首先考慮X的最後一個元素和Y的最後一個元素。

⑴若是x_n=y_m，即X的最後一個元素與Y的最後一個元素相同，這說明該元素必定位於公共子序列中。所以，如今只須要找：LCS(X_n-1,Y_m-1)

LCS(X_n-1,Y_m-1)就是原問題的一個子問題。爲何叫子問題？由於它的規模比原問題小。

爲何是最優的子問題？由於咱們要找的是X_n-1和Y_m-1的最長公共子序列啊。最長的！換句話說就是最優的那個。

⑵若是x_n!=y_m，這下要麻煩一點，由於它產生了兩個子問題：LCS(X_n-1,Y_m)和LCS(X_n,Y_m-1)

由於序列X和序列Y的最後一個元素不相等，那說明最後一個元素不多是最長公共子序列中的元素。

LCS(X_n-1,Y_m)表示：最長公共序列能夠在(x₁,x₂,...x_n-1)和(y₁,y₂,...,y_m)中找。

LCS(X_n,Y_m-1)表示：最長公共序列能夠在(x₁,x₂,...x_n)和(y₁,y₂,...,y_m-1)中找。

求解上面兩個子問題，獲得的公共子序列誰最長，那誰就是LCS(X,Y)。用數學表示就是：

LCS=max{LCS(X_n-1,Y_m),LCS(X_n,Y_m-1)}

因爲條件⑴和⑵考慮到了全部可能的狀況。所以，咱們成功的把原問題轉化成了三個規模更小的問題。

②重疊子問題

重疊子問題是什麼？就是說原問題轉化成子問題後，子問題中有相同的問題。

原問題是：LCS(X,Y)。子問題有❶LCS(X_n-1,Y_m-1)❷ LCS(X_n-1,Y_m)❸ LCS(X_n,Y_m-1)

乍一看，這三個問題是不重疊的。可本質上它們是重疊的，由於它們只重疊了一大部分。舉例：

第二個子問題：LCS(X_n-1,Y_m)就包含了問題❶LCS(X_n-1,Y_m-1)，爲何？

由於，當X_n-1和Y_m的最後一個元素不相同時，咱們又須要將LCS(X_n-1,Y_m-1)進行分解：分解成：LCS(X_n-1,Y_m-1)和LCS(X_n-2,Y_m)

也就是說：在子問題的繼續分解中，有些問題是重疊的。

因爲像LCS這樣的問題，它具備重疊子問題的性質，所以：用遞歸來求解就太不划算了。國爲採用遞歸，它重複地求解了子問題，並且須要注意的是，全部子問題加起來的個數是指數級的。

那麼問題來了，若是用遞歸求解，有指數級個子問題，故時間複雜度是指數級的。這指數級個子問題，難道用了動態規劃，就變成多項式時間了？？

關鍵是採用動態規劃時，並不須要去一一計算那些重疊了的子問題。或者說：用了動態規劃以後，有些子問題是經過「查表」直接獲得的，而不是從新又計算一遍獲得的。舉個例子：好比求Fib數列。

求fib(5)，分解成了兩個子問題：fib(4)和fib(3)，求解fib(4)和fib(3)時，又分解了一系列的小問題...

從圖中能夠看出：根的左右子樹：fib(4)和fib(3)下，是有不少重疊的！好比，對於fib(2)，它就一共出現了三次。若是用遞歸來求解，fib(2)就會被計算三次，而用DP（Dynamic Programming）動態規劃，則fib(2)只會計算一次，其餘兩次則是經過「查表」直接求得。並且，更關鍵的是：查找求得該問題的解以後，就不須要再繼續去分解該問題了。而對於遞歸，是不斷地將問題解，直到分解爲基準問題（fib(0)或者fib(1)）

說了這麼多，仍是寫下最長公共子序列的遞歸式才完整。

C[i,j]表示：(x₁,x₂,...,x_i)和(y₁,y₂,...,y_j)的最長公共子序列的長度。公式的具體解釋可參考《算法導論》動態規劃章節

3、LCS Python代碼實現

#! /usr/bin/env python3
# -*- coding:utf-8 -*-

# Author   : mayi
# Blog     : http://www.cnblogs.com/mayi0312/
# Date     : 2019/5/16
# Name     : test03
# Software : PyCharm
# Note     : 用於實現求解兩個字符串的最長公共子序列


def longestCommonSequence(str_one, str_two, case_sensitive=True):
    """
    str_one 和 str_two 的最長公共子序列
    :param str_one: 字符串1
    :param str_two: 字符串2（正確結果）
    :param case_sensitive: 比較時是否區分大小寫，默認區分大小寫
    :return: 最長公共子序列的長度
    """
    len_str1 = len(str_one)
    len_str2 = len(str_two)
    # 定義一個列表來保存最長公共子序列的長度，並初始化
    record = [[0 for i in range(len_str2 + 1)] for j in range(len_str1 + 1)]
    for i in range(len_str1):
        for j in range(len_str2):
            if str_one[i] == str_two[j]:
                record[i + 1][j + 1] = record[i][j] + 1
            elif record[i + 1][j] > record[i][j + 1]:
                record[i + 1][j + 1] = record[i + 1][j]
            else:
                record[i + 1][j + 1] = record[i][j + 1]

    return record[-1][-1]

if __name__ == '__main__':
    # 字符串1
    s1 = "BDCABA"
    # 字符串2
    s2 = "ABCBDAB"
    # 計算最長公共子序列的長度
    res = longestCommonSequence(s1, s2)
    # 打印結果
    print(res) # 4