求解兩個字符串的最長公共子序列

一，問題描述

給定兩個字符串，求解這兩個字符串的最長公共子序列（Longest Common Sequence）。好比字符串1：BDCABA；字符串2：ABCBDAB

則這兩個字符串的最長公共子序列長度爲4，最長公共子序列是：BCBA

 

二，算法求解

這是一個動態規劃的題目。對於可用動態規劃求解的問題，通常有兩個特徵：①最優子結構；②重疊子問題

①最優子結構

設 X=(x1,x2,.....xn) 和 Y={y1,y2,.....ym} 是兩個序列，將 X 和 Y 的最長公共子序列記爲LCS(X,Y)

找出LCS(X,Y)就是一個最優化問題。由於，咱們須要找到X 和 Y中最長的那個公共子序列。而要找X 和 Y的LCS，首先考慮X的最後一個元素和Y的最後一個元素。

1）若是 xn=ym，即X的最後一個元素與Y的最後一個元素相同，這說明該元素必定位於公共子序列中。所以，如今只須要找：LCS(X_n-1，Y_m-1)

LCS(X_n-1，Y_m-1)就是原問題的一個子問題。爲何叫子問題？由於它的規模比原問題小。（小一個元素也是小嘛....）

爲何是最優的子問題？由於咱們要找的是X_n-1 和 Y_m-1 的最長公共子序列啊。。。最長的！！！換句話說，就是最優的那個。（這裏的最優就是最長的意思）

2）若是xn != ym，這下要麻煩一點，由於它產生了兩個子問題：LCS(X_n-1，Y_m) 和 LCS(X_n，Y_m-1)

由於序列X 和 序列Y 的最後一個元素不相等嘛，那說明最後一個元素不多是最長公共子序列中的元素嘛。（都不相等了，怎麼公共嘛）。

LCS(X_n-1，Y_m)表示：最長公共序列能夠在(x1,x2,....x(n-1)) 和 (y1,y2,...yn)中找。

LCS(X_n，Y_m-1)表示：最長公共序列能夠在(x1,x2,....xn) 和 (y1,y2,...y(n-1))中找。

求解上面兩個子問題，獲得的公共子序列誰最長，那誰就是 LCS（X,Y）。用數學表示就是：

LCS=max{LCS(X_n-1，Y_m)，LCS(X_n，Y_m-1)}

因爲條件 1)  和  2)  考慮到了全部可能的狀況。所以，咱們成功地把原問題 轉化 成了 三個規模更小的子問題。

 

②重疊子問題

重疊子問題是啥？就是說原問題 轉化 成子問題後，  子問題中有相同的問題。咦？我怎麼沒有發現上面的三個子問題中有相同的啊？？？？

OK，來看看，原問題是：LCS(X,Y)。子問題有 ❶LCS(X_n-1，Y_m-1)    ❷LCS(X_n-1，Y_m)    ❸LCS(X_n，Y_m-1)

初一看，這三個子問題是不重疊的。可本質上它們是重疊的，由於它們只重疊了一大部分。舉例：

第二個子問題：LCS(X_n-1，Y_m) 就包含了：問題❶LCS(X_n-1，Y_m-1)，爲何？

由於，當X_n-1 和 Y_m 的最後一個元素不相同時，咱們又須要將LCS(X_n-1，Y_m)進行分解：分解成：LCS(X_n-1，Y_m-1) 和 LCS(X_n-2，Y_m)

也就是說：在子問題的繼續分解中，有些問題是重疊的。

 

因爲像LCS這樣的問題，它具備重疊子問題的性質，所以：用遞歸來求解就太不划算了。由於採用遞歸，它重複地求解了子問題啊。並且注意哦，全部子問題加起來的個數 但是指數級的哦。。。。

這篇文章中就演示了一個遞歸求解重疊子問題的示例。

那麼問題來了，你說用遞歸求解，有指數級個子問題，故時間複雜度是指數級。這指數級個子問題，難道用了動態規劃，就變成多項式時間了？？

呵呵噠。。。。

關鍵是採用動態規劃時，並不須要去一 一 計算那些重疊了的子問題。或者說：用了動態規劃以後，有些子問題 是經過 「查表「 直接獲得的，而不是從新又計算一遍獲得的。廢話少說：舉個例子吧！好比求Fib數列。關於Fib數列，可參考：

求fib(5)，分解成了兩個子問題：fib(4) 和 fib(3)，求解fib(4) 和 fib(3)時，又分解了一系列的小問題....

從圖中能夠看出：根的左右子樹：fib(4) 和 fib(3)下，是有不少重疊的！！！好比，對於 fib(2)，它就一共出現了三次。若是用遞歸來求解，fib(2)就會被計算三次，而用DP(Dynamic Programming)動態規劃，則fib(2)只會計算一次，其餘兩次則是經過」查表「直接求得。並且，更關鍵的是：查找求得該問題的解以後，就不須要再繼續去分解該問題了。而對於遞歸，是不斷地將問題分解，直到分解爲 基準問題(fib(1) 或者 fib(0))

 

說了這麼多，仍是要寫下最長公共子序列的遞歸式才完整。借用網友的一張圖吧：）

 

c[i,j]表示：(x1,x2....xi) 和 (y1,y2...yj) 的最長公共子序列的長度。（是長度哦，就是一個整數嘛）。公式的具體解釋可參考《算法導論》動態規劃章節

 

三，LCS JAVA實現

 1 public class LCSequence {
 2     
 3     //求解str1 和 str2 的最長公共子序列
 4     public static int LCS(String str1, String str2){
 5         int[][] c = new int[str1.length() + 1][str2.length() + 1];
 6         for(int row = 0; row <= str1.length(); row++)
 7             c[row][0] = 0;
 8         for(int column = 0; column <= str2.length(); column++)
 9             c[0][column] = 0;
10         
11         for(int i = 1; i <= str1.length(); i++)
12             for(int j = 1; j <= str2.length(); j++)
13             {
14                 if(str1.charAt(i-1) == str2.charAt(j-1))
15                     c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;
16                 else if(c[i][j-1] > c[i-1][j])
17                     c[i][j] = c[i][j-1];
18                 else
19                     c[i][j] = c[i-1][j];
20             }
21         return c[str1.length()][str2.length()];
22     }
23     
24     //test
25     public static void main(String[] args) {
26         String str1 = "BDCABA";
27         String str2 = "ABCBDAB";
28         int result = LCS(str1, str2);
29         System.out.println(result);
30     }
31 }

感受整個代碼就是直接根據上面的那個遞歸表達式寫的。

①第5行定義一個數組來保存最長公共子序列的長度

②第6行至第9行是初始化。爲何初始化成0？ 由於： c[0,j]表示啥？表示字符串1的長度是0，字符串2的長度是j，這兩個字符串的最長公共子序列的長度是？固然是0 嘍。。。由於，字符串1 根本就沒有嘛。

③第11行至第20行，就是遞歸表達式的程序表示。第16行至第19行，就是：  c[i,j] = max{c[i][j-1], c[i-1][j]}

④第21行返回最終結果。爲何是返回 c[str1.length()][str2.length()]？？？看看 c[i][j]表示什麼意思，你就知道了。

 

四，參考資料

https://www.zhihu.com/question/23995189

http://www.cnblogs.com/huangxincheng/archive/2012/11/11/2764625.html

 http://www.hawstein.com/posts/dp-knapsack.html