FFT結果的物理意義

圖像的頻率是表徵圖像中灰度變化劇烈程度的指標，是灰度在平面空間上的梯度。如：大面積的沙漠在圖像中是一片灰度變化緩慢的區域，對應的頻率值很低；而對 於地表屬性變換劇烈的邊緣區域在圖像中是一片灰度變化劇烈的區域，對應的頻率值較高。傅立葉變換在實際中有很是明顯的物理意義，設f是一個能量有限的模擬信號，則其傅立葉變換就表示f的譜。從純粹的數學意義上看，傅立葉變換是將一個函數轉換爲一系列周期函數來處理的。從物理效果看，傅立葉變換是將圖像從空間域轉換到頻率域，其逆變換是將圖像從頻率域轉換到空間域。換句話說，傅立葉變換的物理意義是將圖像的灰度分佈函數變換爲圖像的頻率分佈函數，傅立葉逆變換是將圖像的頻率分佈函數變換爲灰度分佈函數。

    這樣經過觀察傅立葉變換後的頻譜圖，也叫功率圖，咱們首先就能夠看出，圖像的能量分佈，若是頻譜圖中暗的點數更多，那麼實際圖像是比較柔和的（由於各點與 鄰域差別都不大，梯度相對較小），反之，若是頻譜圖中亮的點數多，那麼實際圖像必定是尖銳的，邊界分明且邊界兩邊像素差別較大的。對 頻譜移頻到原點之後，能夠看出圖像的頻率分佈是以原點爲圓心，對稱分佈的。將頻譜移頻到圓心除了能夠清晰地看出圖像頻率分佈之外，還有一個好處，它能夠分 離出有週期性規律的干擾信號，好比正弦干擾，一副帶有正弦干擾，移頻到原點的頻譜圖上能夠看出除了中心之外還存在以某一點爲中心，對稱分佈的亮點集合，這 個集合就是干擾噪音產生的，這時能夠很直觀的經過在該位置放置帶阻濾波器消除干擾。另外我還想說明如下幾點： 

一、圖像通過二維傅立葉變換後，其變換系數矩陣代表： 

若變換矩陣Fn原點設在中心，其頻譜能量集中分佈在變換系數短陣的中心附近(圖中陰影區)。若所用的二維傅立葉變換矩陣Fn的原點設在左上角，那麼圖像信號能量將集中在係數矩陣的四個角上。這是由二維傅立葉變換自己性質決定的。同時也代表一股圖像能量集中低頻區域。 

2 、變換以後的圖像在原點平移以前四角是低頻，最亮，平移以後中間部分是低頻，最亮，亮度大說明低頻的能量大（幅角比較大）。


從計算機處理精度上就不難理解，一個長度爲N的信號，最多隻能有N/2+1個不一樣頻率，再多的頻率就超過了計算機所能所處理的精度範圍）


X[]數組又分兩種，一種是表示餘弦波的不一樣頻率幅度值：Re X[]，另外一種是表示正弦波的不一樣頻率幅度值：Im X[]，Re是實數(Real)的意思，Im是虛數(Imagine)的意思，採用複數的表示方法把正餘弦波組合起來進行表示，但這裏咱們不考慮複數的其 它做用，只記住是一種組合方法而已，目的是爲了便於表達（在後面咱們會知道，複數形式的傅立葉變換長度是N，而不是N/2+1）。


用Matlab實現快速傅立葉變換


    FFT是離散傅立葉變換的快速算法，能夠將一個信號變換到頻域。有些信號在時域上是很難看出什麼特徵的，可是若是變換到頻域以後，就很容易看出特徵了。這 就是不少信號分析採用FFT變換的緣由。另外，FFT能夠將一個信號的頻譜提取出來，這在頻譜分析方面也是常常用的。 
    雖然不少人都知道FFT是什麼，能夠用來作什麼，怎麼去作，可是殊不知道FFT以後的結果是什意思、如何決定要使用多少點來作FFT。 
    如今就根據實際經驗來講說FFT結果的具體物理意義。一個模擬信號，通過ADC採樣以後，就變成了數字信號。採樣定理告訴咱們，採樣頻率要大於信號頻率的兩倍，這些我就不在此囉嗦了。 
採樣獲得的數字信號，就能夠作FFT變換了。N個採樣點，通過FFT以後，就能夠獲得N個點的FFT結果。爲了方便進行FFT運算，一般N取2的整數次方。 
    假設採樣頻率爲Fs，信號頻率F，採樣點數爲N。那麼FFT以後結果就是一個爲N點的複數。每個點就對應着一個頻率點。這個點的模值，就是該頻率值下的幅度特性。具體跟原始信號的幅度有什麼關係呢？假設原始信號的峯值爲A，那麼FFT的結果的每一個點（除了第一個點直流份量以外）的模值就是A的N/2倍。而第一個點就是直流份量，它的模值就是直流份量的N倍。 而每一個點的相位呢，就是在該頻率下的信號的相位。第一個點表示直流份量（即0Hz），而最後一個點N的再下一個點（實際上這個點是不存在的，這裏是假設的 第N+1個點，也能夠看作是將第一個點分作兩半分，另外一半移到最後）則表示採樣頻率Fs，這中間被N-1個點平均分紅N等份，每一個點的頻率依次增長。例如某點n所表示的頻率爲：Fn=(n-1)*Fs/N。由上面的公式能夠看出，Fn所能分辨到頻率爲Fs/N，若是採樣頻率Fs爲1024Hz，採樣點數爲1024點，則能夠分辨到1Hz。1024Hz的採樣率採樣1024點，恰好是1秒，也就是說，採樣1秒時間的信號並作FFT，則結果能夠分析到1Hz，若是採樣2秒時間的信號並作FFT，則結果能夠分析到0.5Hz。若是要提升頻率分辨力，則必須增長採樣點數，也即採樣時間。頻率分辨率和採樣時間是倒數關係。 

    假設FFT以後某點n用複數a+bi表示，那麼這個複數的模就是An=根號a*a+b*b，相位就是Pn=atan2(b,a)。根據以上的結果，就能夠 計算出n點（n≠1，且n<=N/2）對應的信號的表達式爲：An/(N/2)*cos(2*pi*Fn*t+Pn)，即2*An /N*cos(2*pi*Fn*t+Pn)。對於n=1點的信號，是直流份量，幅度即爲A1/N。因爲FFT結果的對稱性，一般咱們只使用前半部分的結果，即小於採樣頻率一半的結果。 

    下面以一個實際的信號來作說明。假設咱們有一個信號，它含有2V的直流份量，頻率爲50Hz、相位爲-30度、幅度爲3V的交流信號，以及一個頻率 （f0）爲75Hz、相位爲90度、幅度爲1.5V的交流信號。用數學表達式就是以下：S=2+3*cos(2*pi*50*t- pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180)。式中cos參數爲弧度，因此-30度和90度要分別換算成弧度。咱們 以256Hz的採樣率對這個信號進行採樣，總共採樣256點。按照咱們上面的分析，Fn=(n-1)*Fs/N，咱們能夠知道，每兩個點之間的間距就是 1Hz，第n個點的頻率就是n-1。咱們的信號有3個頻率：0Hz、50Hz、75Hz，應該分別在第1個點、第51個點、第76個點上出現峯值，其它各 點應該接近0。實際狀況如何呢？咱們來看看FFT的結果的模值如圖所示。

                      圖1 FFT結果

從圖中咱們能夠看到，在第1點、第51點和第76點附近有比較大的值。咱們分別將這三個點附近的數據拿上來細看： 
1點： 512+0i 
2點： -2.6195E-14 - 1.4162E-13i 
3點： -2.8586E-14 - 1.1898E-13i 
50點：-6.2076E-13 - 2.1713E-12i 
51點：332.55 - 192i 
52點：-1.6707E-12 - 1.5241E-12i 
75點：-2.2199E-13 -1.0076E-12i 
76點：3.4315E-12 + 192i 
77點：-3.0263E-14 +7.5609E-13i 
很明顯，1點、51點、76點的值都比較大，它附近的點值都很小，能夠認爲是0，即在那些頻率點上的信號幅度爲0。接着，咱們來計算各點的幅度值。分別計算這三個點的模值，結果以下： 
1點： 512 
51點：384 
76點：192 
按照公式，能夠計算出直流份量爲：512/N=512/256=2；50Hz信號的幅度爲：384/(N/2)=384/(256/2)=3；75Hz信號的幅度爲192/(N/2)=192/(256/2)=1.5。可見，從頻譜分析出來的幅度是正確的。 
而後再來計算相位信息。直流信號沒有相位可言，不用管它。先計算50Hz信號的相位，atan2(-192, 332.55)=-0.5236,結果是弧度，換算爲角度就是180*(-0.5236)/pi=-30.0001。再計算75Hz信號的相 位，atan2(192, 3.4315E-12)=1.5708弧度，換算成角度就是180*1.5708/pi=90.0002。可見，相位也是對的。根據FFT結果以及上面的 分析計算，咱們就能夠寫出信號的表達式了，它就是咱們開始提供的信號。


總結：假設採樣頻率爲Fs，採樣點數爲N，作FFT以後，某一點n（n從1開始）表示的頻率爲：Fn=(n-1)*Fs/N；該點的模值除以N/2就是對 應該頻率下的信號的幅度（對於直流信號是除以N）；該點的相位便是對應該頻率下的信號的相位。相位的計算可用函數atan2(b,a)計算。 atan2(b,a)是求座標爲(a,b)點的角度值，範圍從-pi到pi。要精確到xHz，則須要採樣長度爲1/x秒的信號，並作FFT。要提升頻率分 辨率，就須要增長採樣點數，這在一些實際的應用中是不現實的，須要在較短的時間內完成分析。解決這個問題的方法有頻率細分法，比較簡單的方法是採樣比較短 時間的信號，而後在後面補充必定數量的0，使其長度達到須要的點數，再作FFT，這在必定程度上可以提升頻率分辨力。具體的頻率細分法可參考相關文獻.

PS:這裏解釋下前面講的假設原始信號的峯值爲A，那麼FFT的結果的每一個點（除了第一個點直流份量以外）的模值就是A的N/2倍。而第一個點就是直流份量，它的模值就是直流份量的N倍。這句話應該僅僅對sin，cos函數有效吧。若是時域上爲x(n)=1,0<=n<=6,其餘n均爲0，16點fft顯然不知足這個條件。

   而對於cos函數，拿他舉得例子看S(n)=2+3*cos(2*pi*50*n- pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*n+pi*90/180)以256Hz的採樣率對這個信號進行採樣，總共採樣256點。按照咱們 上面的分析，Fn=(n-1)*Fs/N，咱們能夠知道，每兩個點之間的間距就是1Hz，第n個點的頻率就是n-1。咱們的信號有3個頻率：0Hz、 50Hz、75Hz，應該分別在第1個點、第51個點、第76個點上出現峯值，其它各點應該接近0。實際狀況如何呢？

更具DFT的公式:

由於採樣頻率爲256hz，

因此x(n)=s(n/256)=2+3*cos(2*pi*50*n/256-pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*n/256+pi*90/180)

將x(n)帶入,化簡得：

最後利用正交原理，當k=0時，後面兩項都等於0，X(0)=2*256=512；

    當k=50，第一和第三項爲0，中間不爲0，X(50)=3*1/2*256*e(-j*π/6)，模值|X(50)|=384;

  當K=75，同理，模值|X(75)|=192;

(matlab中下標是從1開始的，因此K的取值向後延一位，即K=1,51,76)這與實驗出來的結果是一致的。