CodeForces - 1407D Discrete Centrifugal Jumps(單調棧+dp)

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題目大意：給出 n 個大樓的高度記爲 h，如今須要從第一個大樓到達第 n 個大樓，問最小步數是多少，只有知足如下條件時才能從 i 移動到 j ，設 i < j：

題目分析：無後效性的最優解，顯然是 dp 問題，但又很差直接進行轉移，因此須要藉助數據結構來維護

首先第一種狀況的狀態不用多說了，直接轉移就好，對於後兩種狀況，假設從狀態 dp[ i ] 轉移到 dp[ j ] ，對於每一個接受狀態的 j 來講，須要找到一個 i ，知足其之間的數都要小於 h[ i ] 和 h[ j ] 或者大於 h[ i ] 和 h[ j ] ，其實這就用到了單調棧的一個性質，先稍微回顧一下單調棧，假如如今維護了一個非嚴格遞增的單調棧（維護的是下標，其對應的高度嚴格遞增），一個比較明顯的結論就是，假如遍歷到當前的位置爲 cur，那麼對於單調棧內的高度 h 大於等於 cur 的位置 pos 來講，( pos , cur ) 開區間內的數必定都大於 h[ pos ]，假設 ( pos , cur ) 內存在一個數 x 小於等於 h[ pos ]，因爲維護的是非嚴格遞增的棧，在以前遍歷到 x 時，會將大於等於 x 的 數包括 h[ pos ] 直接彈出棧，因此與假設矛盾，故 ( pos , cur ) 內的數必定都大於 h[ pos ] ，又由於這個 pos 咱們一開始取得是 h[ pos ] >= h[ cur ] ，因此知足了狀況 3 ，也就是說明了 pos 的狀態是能夠直接轉移到 cur 的狀態的，同理可證狀況 2

那麼如何實現呢，接上一段繼續說，若是到了位置 cur 時，如今的目標是須要找到全部 h[ pos ] >= h[ cur ] 的 pos 進行狀態轉移，而思考一下維護單調棧的過程，是須要將全部大於等於 h[ cur ] 的元素彈出棧，這也就對應了上面的狀態轉移，因此在彈棧的時候維護一下 dp 就能夠了

最後須要注意的一個細節是，由於單調棧維護的是一個非嚴格遞增的序列，顯然在彈棧的時候的轉移都是合法的，那麼當維護好單調棧後，此時的棧頂是否合法呢，咱們須要分狀況討論一下：

1. 若是在彈棧的時候，遇到了一個 h[ pos ] == h[ cur ] ，那麼當彈完棧後，此時棧頂的位置到 cur 的位置之間必定是存在着一個位置 pos 使得 h[ pos ] == h[ cur ] 的，此時的棧頂沒法給 cur 轉移狀態
2. 若是沒有遇到的話，那麼在彈完棧後，能夠保證棧頂到 cur 之間的數都嚴格大於 h[ cur ]，證實仍是和上面的反證法同樣，假設存在一個數 x ∈ [ 棧頂 , cur ] ，且 x 小於等於 h[ cur ] ，那麼在以前維護單調棧的時候，棧頂早就被彈出去了，因此得證，此時棧頂是能夠向 cur 位置進行狀態轉移的

理論比較複雜，可是代碼實現起來比較簡單，我是用 stl 的棧寫的，可能看起來比較繞一些

代碼：
 

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cassert>
#include<bitset>
using namespace std;
 
typedef long long LL;
 
typedef unsigned long long ull;
 
const int inf=0x3f3f3f3f;

const int N=3e5+100;

int h[N],dp[N];

stack<int>st1,st2;
 
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
//  freopen("data.in.txt","r",stdin);
//  freopen("data.out.txt","w",stdout);
#endif
//  ios::sync_with_stdio(false);
	memset(dp,inf,sizeof(dp));
	int n;
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%d",h+i);
	dp[1]=0;
	st1.push(1);
	st2.push(1);
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		bool flag1=false,flag2=false;
		while(st1.size()&&h[st1.top()]>=h[i])
		{
			if(h[st1.top()]==h[i])
				flag1=true;
			dp[i]=min(dp[i],dp[st1.top()]+1);
			st1.pop();
		}
		if(st1.size()&&!flag1)
			dp[i]=min(dp[i],dp[st1.top()]+1);
		while(st2.size()&&h[st2.top()]<=h[i])
		{
			if(h[st2.top()]==h[i])
				flag2=true;
			dp[i]=min(dp[i],dp[st2.top()]+1);
			st2.pop();
		}
		if(st2.size()&&!flag2)
			dp[i]=min(dp[i],dp[st2.top()]+1);
		st1.push(i);
		st2.push(i);
	}
	printf("%d\n",dp[n]);



















	return 0;
}