【BZOJ4559】成績比較（動態規劃，拉格朗日插值）

#【BZOJ4559】成績比較（動態規劃，拉格朗日插值） ##題面 BZOJ 洛谷 ##題解 顯然能夠每門課順次考慮， 設$f[i][j]$表示前$i$門課程$zsy$剛好碾壓了$j$個$yyb$的方案數。 那麼，思考轉移，顯然是原來碾壓了$k$我的，可是在考慮到這一門課程的時候有些人沒被碾壓了， 因此轉移就是$f[i][j]=f[i-1][k]C_k^jC_{n-k-1}^{n-rank[i]-j}P[i]$ 大體的含義就是，原先$zsy$碾壓了$k$我的，可是如今$zsy$只碾壓了$j$個蒟蒻$yyb$， 由於有$k-j$個神犇$ppl$在這門課程上的得分吊打了$zsy$。 先找出來哪些是$j$個蒟蒻$yyb$中的一員，而且被$zsy$被碾壓了，方案數是$C_k^j$， 因爲以前有$k$我的欽定被$zsy$吊打，因此還剩下$n-k-1$我的， 然而有$j$個蒟蒻$yyb$仍然欽定被$zsy$吊打，因此剩下的人裏面要找些人把被$zsy$吊打的人數給填滿，要否則$zsy$會不開森。 還差多少個被吊打的人呢？一共是$n-rank[i]$個被吊打名額，有$j$個蒟蒻$yyb$被欽定了，因此還剩下$n-rand[i]-j$個名額。 因此就獲得了上面的轉移。。。。嗎？ 後面那個$P$是啥玩意？ 你如今不是已經欽定好了這些人的相對排名了嗎，然而咱們並不知道分數是多少。 因此$P[i]$表示的是給全部人欽定$[1,U[i]]$之間的分數的方案數。 $U$這麼大，明顯不讓人活了，因此僞裝拉格朗日插值一下是對的。 $P$是個啥玩意呢？ $P=\sum_{i=1}^Ui^{n-rank}(U-i)^{rank-1}$ 什麼意思？欽定一下$zsy$的分數是$i$，那麼全部被$zsy$吊打的人的選擇就只有$[1,i]$， 而總共有$n-rank$我的被吊打，而剩下的人分數比$zsy$高，因此被欽定爲$[i+1,U]$，一共$(U-i)$種方法，總共$rank-1$我的，大力插值一波僞裝是對的就行了。 然而我嫌插值太慢，去網上蒯（抄）了一種神仙作法

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ll long long
#define MAX 150
#define MOD 1000000007
inline int read()
{
	int x=0;bool t=false;char ch=getchar();
	while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
	if(ch=='-')t=true,ch=getchar();
	while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
	return t?-x:x;
}
int fpow(int a,int b)
{
	int s=1;
	while(b){if(b&1)s=1ll*s*a%MOD;a=1ll*a*a%MOD;b>>=1;}
	return s;
}
void add(int &x,int y){x+=y;if(x>=MOD)x-=MOD;}
int n,m,K,u[MAX],rk[MAX],f[MAX][MAX],P[MAX],g[MAX];;
int jc[MAX],jv[MAX],inv[MAX];
int C(int n,int m){if(n<0||m<0||m>n)return 0;return 1ll*jc[n]*jv[m]%MOD*jv[n-m]%MOD;}
int main()
{
	n=read();m=read();K=read();
	for(int i=1;i<=m;++i)u[i]=read();
	for(int i=1;i<=m;++i)rk[i]=read();
	jc[0]=jv[0]=inv[0]=inv[1]=1;
	for(int i=1;i<=n;++i)jc[i]=1ll*jc[i-1]*i%MOD;
	for(int i=2;i<=n;++i)inv[i]=1ll*inv[MOD%i]*(MOD-MOD/i)%MOD;
	for(int i=1;i<=n;++i)jv[i]=1ll*jv[i-1]*inv[i]%MOD;
	for(int i=1;i<=m;++i)
	{
		g[0]=u[i];
		for(int j=1;j<=n;++j)
		{
			g[j]=(fpow(u[i]+1,j+1)-1+MOD)%MOD;
			for(int k=0;k<j;++k)add(g[j],MOD-(1ll*C(j+1,k)*g[k]%MOD));
			g[j]=1ll*g[j]*fpow(j+1,MOD-2)%MOD;
		}
		int inv=fpow(u[i],MOD-2),v=fpow(u[i],rk[i]-1),d=1;
		for(int j=0;j<rk[i];++j,d=MOD-d,v=1ll*v*inv%MOD)
			add(P[i],1ll*C(rk[i]-1,j)*d%MOD*v%MOD*g[n-rk[i]+j]%MOD);
	}
	f[0][n-1]=1;
	for(int i=1;i<=m;++i)
		for(int j=K;j<=n;++j)
			for(int k=j;k<=n;++k)
				add(f[i][j],1ll*f[i-1][k]*C(k,j)%MOD*C(n-k-1,n-rk[i]-j)%MOD*P[i]%MOD);
	printf("%d\n",f[m][K]);
	return 0;
}