二進制數的編碼表示

時間 2020-05-22

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數值信息在計算機內是採用二進制編碼表示。數有正負之分，通常狀況下，用"0"表示正號，"1"表示負號，符號位放在數的最高位。
例如，8位二進制數A = (+1011011)，B = (-1011011)，它們在機器中能夠表示爲：
A：01011011
B：11011011ide

計算機中幾種經常使用的編碼----原碼、反碼和補碼。學習

1.原碼
將符號位數字化爲0或1，數的絕對值與符號一塊兒編碼，即所謂"符號-絕對值表示"的編碼，稱爲原碼。
例如：
整數：
X = +1011011，原碼：[X]原 = 01011011；
X = -1011011，原碼：[X]原= 11011011；
小數：
對於一個帶符號的純小數，它的原碼錶示就是把小數點左邊一位用做符號位。
X = 0.1011，原碼：[X]原 = 0.1011；
X = -0.1011，原碼：[X]原 = 1.1011；編碼

當採用原碼錶示法時，編碼簡單直觀，與真值轉換方便。但原碼也存在一些問題，一是零的表示不惟一，由於：[+0] = 000···0，[-0] = 100···0  零有二義性，
            給機器判零帶來麻煩。二是用原碼進行四則運算時，符號位須要單獨處理，且運算規則複雜。例如加法運算，若兩數同號，兩數相加，結果取共同的符號；
            若兩數異號，則要大數減去小數，結果冠以大號的符號。此外，借位操做若是用計算機硬件來實現是很困難的。

2.反碼
反碼不多使用，但做爲一種編碼方式和求補碼的中間碼，咱們仍是要學習一下的。
正數的反碼與原碼錶示相同。
負數反碼的符號位與原碼相同(仍用1表示)，其他各位取反(0變1,1變0)。例如：
X = +1100110， [X]原 = 01100110，[X]反 = +1100110；
X = -1100110，[X]原 = 11100110，[X]反 = 10011001；
X = +0000000，[X]原 = 00000000，[X]反 = 00000000；
X = -0000000，[X]原 = 10000000，[X]反 = 111111111；
和原碼同樣，反碼中的零的表示也不惟一。
當X爲純小數時，反碼的表示以下：
X = 0.1011，[X]原 = 0.1011，[X]反 = 0.1011；
X = -0.1011，[X]原 = 1.1011，[X]反 = 1.0100；設計

3.補碼
(1)模數的概念
模數從物理意義上講，是某種計量器的容量。例如，咱們平常生活中用到的鐘表，模數就是12。鐘錶計時的方式就是達到12就從零開始(扔掉一個12)，這在數學上是一種"取模(或取餘)運算(mod)"。例如：14%12 = 2。
若是如今的準確時間是6點整，而你的手錶指向8點，怎樣把表撥準呢？能夠有兩種方法：把表日後撥2小時，或把表往前撥10小時，效果是同樣的。即：
8-2 = 6
(8+10)%12 = 6code

在模數系統中，8-2 = 8+10 (mod 12)
         上式之因此成立，是由於2與10對模數12是互爲補數的(2+10 = 12)。所以，能夠承認這樣一個結論：在模數系統中，一個數減去另外一個數，或者一個數加上一個負數，等於第一個數加上第二個數的補數：
                                                                                                                                                 8+(-2) = 8+10 (mod 12)
            咱們稱10爲-2在模12下的"補碼"。負數採用補碼錶示後，可使加減法統一爲加法運算。
            在計算機中，機器表示數據的字長是固定的。對於n位數來講，模數的大小是：n位數全爲1，且末位再加1。實際上模數的值已經超過了機器所能表示的數的範圍，所以模數在機器中是表示不出來的。若運算結果大於模數，則模數自動丟掉，也就等於實現了取模運算。
            若是有n位整數(包括一位符號位)，則它的模數爲2^n；若是有n位小數，小數點前一位爲符號位，則它的模數爲2。

    ***(2)補碼錶示法***
    由以上討論得知，對於一個二進制負數，可用其模數與真值作加法(模減去該數的絕對值)求得其補碼。
    例：  X = -0110    [X]補 = 2^4 + (-0110) = 1010
             X = -0.1011  [X]補 = 2 + (-0.1011) = 1.0101
                     因爲機器中不存在數的真值形式，用上述公式求補碼在機器中不易實現，但從上式可推導出一個簡便方法。
                     "對於一個負數，其補碼由該數反碼的最末位加1求得。"
                    "對於正數來講，其原碼、反碼、補碼形式相同。」

                    補碼的特色之一就是零的表示惟一。
                      [+0]補 = 0 0 ···0           [-0]補 = 1 1 ··· 1 + 1 = 1 0 0 ··· 0
                                      |_____|                        |______|          |  |______|
                                                       n位                               n位              |      n位
                                                                                               |_ _ _ _ _ _ _ 自動丟失 
                    這種簡便的求補碼方法常常被簡稱爲"求反加1"。

(3)補碼的運算規則
採用補碼錶示的另外一個好處就是當數值信息參與算術運算時，採用補碼方式是最方便的。首先，"符號位可做爲數值參加運算，"最後仍可獲得正確的結果符號，符號無需單獨處理；其次，採用補碼進行運算時，減法運算可轉換爲加法運算，簡化了硬件中的運算電路。
例如：
計算67-10=？
[+67]原 = 01000011， [+67]補 = [+67]原
[-10]原 = 10001010， [-10]補 = 11110110數學

0 1 0 0 0 0 1 1        [+67]補
            +  1 1 1 1 0 1 1 0        [-10]補
            ——————————————
             1 0 0 1 1 1 0 0 1   = 57
              |____________________________ 最高位的進位天然丟失
                 因爲字長只有8位，所以加法最高位的進位天然丟失，達到了取模效果(即丟掉了一個模數)。
                 應當指出，"補碼運算的結果仍爲補碼。" 上例中，從結果符號位得知，結果爲正，因此補碼即原碼，轉換成十進制數爲57。
       若是結果爲負，則是負數的補碼形式，若要變成原碼，須要對補碼再求補，便可還原爲原碼。
 例如：
         10 - 67 = ？
                 [+10]原 = 00001010 = [+10]補
                 [-67]原 = 11000011     [-67]補 = 10111101

                        0 0 0 0 1 0 1 0
                +  1 0 1 1 1 1 0 1
                ——————————
                      1 1 0 0 0 1 1 1

                            [結果]補 = 11000111，[結果]原 = 10111001
                            因此結果的真值爲-0111001，十進制爲-57。

                    以上兩個例子是否就能夠說明補碼運算的結果老是正確的呢？請看下面的例子：
例如：
        85 + 44 = ？
                      0 1 0 1 0 1 0 1
                    +  0 0 1 0 1 1 0 0
                ———————————
                          1 0 0 0 0 0 0 1
                    從結果的符號位能夠看出，結果是一負數。但兩個整數相加不多是負數，問題出在什麼地方呢？原來這是因爲"溢出"形成的，即結果超出了必定位數的二進制數所能表示的數的範圍。

            以上內容節選自清華大學出版社《C++語言程序設計（第4版）》