luogu 1521-求逆序對

題意：
逆序對指在一個序列中ai>aj && i < j，也就是一前一後兩個數，當大的在前面的時候即算一對。

題目求在一個由1…n組成的序列中逆序對爲k的序列的個數。
出題人很良心，不須要寫高精度，答案對10000取模便可。

思路：
這道題的前面其實還有一道很相似的題，也是求逆序對。不一樣的是那道題給定了序列求逆序對的個數，而這道題則相反。那道題的方法即merge sort。儘管兩題很相似，可是方法卻大相徑庭。

憑感受，這應該是一道動規的題。長度爲n-1的序列與長度爲n的序列只差一個n，而因爲n出現的逆序對也很好求：n在第i個就會相比於原序列多出n-i個逆序對。如此，那看來是動規無疑了。

狀態轉移方程：若長度爲n的序列要求有k個逆序對，那麼他能夠從長爲n-1的序列中選取有k-n+1到k個逆序對的部分。道理很簡單n的加入最多使原序列增長n-1個逆序對（即放在第一個的時候，與後面n-1個數構成逆序對），因此要從x[n-I][p]變到x[n][k]，p屬於[k-n+1,k]。那麼轉移方程式就很好寫了：

for(unsigned i = 2; i != n+1; ++i)
{
    dp[i][0] = 1;
    for(unsigned j = 1; j != k+1; ++j)
    {
        for(unsigned p = k-j+1; p != j+1; ++p)
        {
            dp[i][j] += dp[i-1][p];
        }
    }
}

優化：
這是一個O(n^3)的算法，很慢。咱們觀察最內層循環，發現它不少餘，由於老是重複操做。dp[i][j-1]和dp[i][j]當i-j+1>0的時候，中間部分徹底相同，只是掐頭增尾的問題。由此咱們能夠有第一種優化：dp[i][j] = dp[i][j-1]-dp[i-1][j-i]+dp[i-1][j];（j-i >-1）

固然也能夠直接採用前綴數組和的方式將這段循環優化掉，到O(n^2)。
（後面的代碼採起的是這一種）

源代碼的讀入是多組數據。

---

源代碼：

#include <bits/stdc++.h>
#define maxn 1005
#define mod 10000
//#define DEBUG
#ifdef DEBUG
#define debug(...)printf(__VA_ARGS__);
#else
#define debug(...)
#endif 
using namespace std;

int n[15], k[15], dp[maxn][maxn*10];

void Dp(int n, int k)
{
    int a;
    memset(dp, 0, sizeof dp);
    for(unsigned i = 0; i != k+1; ++i)
    {
        dp[1][i] = 1;
    }
    for(int i = 2; i != n+1; ++i)
    {
        dp[i][0] = 1;
        for(int j = 1; j != k+1; ++j)
        {
            if(j-i > -1)    a = dp[i-1][j-i];
            else a = 0; 
            dp[i][j] = (dp[i][j-1]+dp[i-1][j]-a+mod)%mod;
            debug("%d ", dp[i][j]);
        }
        debug("\n");
    }
    return ;
}

int main()
{
    //freopen("test.in", "r", stdin);
    int times, Maxn = 0, Maxk = 0;
    scanf("%d", &times);
    for(unsigned i = 0; i != times; ++i)
    {
        scanf("%d%d", &n[i], &k[i]);
        Maxn = max(Maxn, n[i]);
        Maxk = max(Maxk, k[i]);
    }
    Dp(Maxn, Maxk);
    for(unsigned i = 0; i != times; ++i)
    {   
        printf("%d\n", (mod+dp[n[i][k[i]]-dp[n[i]][k[i]-1])%mod);
    }
    return 0;
}

箜瑟_qi 2017.04.27 15:01