淺談逆序對

目錄

• 什麼是逆序對
• 怎麼求逆序對
  • 1.暴力求解
  • 2.歸併排序
  • 3.樹狀數組
    • 樸素代碼
    • 優化版
  • 插入求逆序對?!我也不知道應該叫什麼

什麼是逆序對

設 $A$ 爲一個有$ n $個數字的有序集$ (n>1)$，其中全部數字各不相同。
若是存在正整數$ i, j$ 使得 $1 ≤ i < j ≤ n$ 並且 $A[i] > A[j]$，則 $<A[i], A[j]>$ 這個有序對稱爲 $A $的一個逆序對，也稱做逆序數。by百度百科

怎麼求逆序對

1.暴力求解

最原始的方法，利用兩重循環進行枚舉。該算法的時間複雜度爲$O(n^2)$。

int doit(int *a, int N)
{
    int count = 0;
    int i, j;
    for(i=0; i<N-1; i++)
        for(j=i+1; j<N; j++)
            if(a[i]>a[j])
            count++;
    return count;
}

p黨福利

var
  i,j,k,n:longint;
  a:array[1..1000000] of longint;
begin
  readln(n);
  for i:=1 to n do read(a[i]);
  k:=0;
  for i:=1 to n-1 do
  for j:=i+1 to n do
  if a[i]>a[j] then inc(k);
  writeln(k);
end.

2.歸併排序

也就是這樣了，不想寫了,時間複雜度爲$O(n\times log(n))$。

這裏就用一下luogu題解第一篇的解釋

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
long long int a[1000001];
long long int tot;
long long int n;
long long int ans[1000001];
long long int now;
void f(long long int s,long long int t) {
    if(s==t)return;
    int mid=(s+t)/2;
    f(s,mid);
    f(mid+1,t);
    long long int i=s;
    long long int j=mid+1;
    now=s;
    while(i<=mid&&j<=t) {
        if(a[i]<=a[j]) {
            ans[now]=a[i];
            i++;
            now++;
        } else {
            tot=tot+mid-i+1;
            ans[now]=a[j];
            j++;
            now++;
        }
    }
    while(i<=mid) {
        ans[now]=a[i];
        i++;
        now++;
    }
    while(j<=t) {
        ans[now]=a[j];
        j++;
        now++;
    }
    for (i=s; i<=t; i++)
        a[i] = ans[i];

}
int main() {
    long long int n;
    cin>>n;
    for(int i=1; i<=n; i++)
        cin>>a[i];
    f(1,n);
    cout<<tot;
    return 0;
}

3.樹狀數組

將原數組從大到小排好序，而後依次取出最大的，次大的...按座標插入到樹狀數組中
當前取出的元素爲a
此時全部比a大的元素已經插入到樹狀數組中了，如今只統計有多少元素在a的前面就行了。

樸素代碼

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<cctype>
by mjt
using namespace std;

const int N = 100010;

struct Node{
    int val,pos;
    bool operator < (const Node &a) const {
        return val > a.val;
    }
}a[N];
int sum[N],n;

inline int read() {
    int x = 0,f = 1;char ch=getchar();
    for (; !isdigit(ch); ch=getchar()) if(ch=='-')f=-1;
    for (; isdigit(ch); ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';
    return x*f;
}
void update(int p,int x) {
    for (; p<=n; p+=p&(-p)) sum[p] += x;
}
int query(int p) {
    int ans = 0;
    for (; p>=1; p-=p&(-p)) ans += sum[p];
    return ans;
}
int main() {
    n = read();
    for (int i=1; i<=n; ++i) 
        a[i].val = read(),a[i].pos = i;
    sort(a+1,a+n+1);
    int ans = 0;
    for (int i=1; i<=n; ++i) {
        ans += query(a[i].pos-1);
        update(a[i].pos,1);
    }
    cout << ans;
    return 0;
}

上面的代碼只有35分?
爲何？

優化版

上面的代碼沒有處理重複的問題,致使大量的重複添加操做
因此咱們只須要去重就行

解釋一個函數$unique$
點這裏你就明白了

unique函數屬於STL中比較經常使用函數，它的功能是元素去重。即」刪除」序列中全部相鄰的重複元素(只保留一個)。此處的刪除，並非真的刪除，而是指重複元素的位置被不重複的元素給佔領了(詳細狀況，下面會講)。因爲它」刪除」的是相鄰的重複元素，因此在使用unique函數以前，通常都會將目標序列進行排序。

如把$1,2,2,2,2,2,2,5,6$去重

就變成了$1,2,5,6,2,2,2,2,2$

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<stack>
#include<vector>
#include<map>
#include<string>
#include<cstring>
#define int long long int
#define lowbit(x) x & -x
const int N=5e5+10;
using namespace std;
inline int read() {
    char c = getchar();
    int x = 0, f = 1;
    while(c < '0' || c > '9') {
        if(c == '-') f = -1;
        c = getchar();
    }
    while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
    return x * f;
}
int ans;
int tree[N],n,a[N],b[N];
void add(int x)
{
    while(x<=n)
    {
        tree[x]++;
        x+=lowbit(x);
    }
}
int query(int x)
{
    int ans=0;
    while(x>0)
    {
        ans+=tree[x];
        x-=lowbit(x);   
    }
    return ans;
}
signed main()
{
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;++i) a[i]=read(),b[i]=a[i];
    sort(a+1,a+1+n);
    int len=unique(a+1,a+1+n)-a-1;
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        int p=lower_bound(a+1,a+1+len,b[i])-a;
        add(p);
        ans+=i-query(p);
    }
    cout<<ans;
    return 0;
}

插入求逆序對?!我也不知道應該叫什麼

咱們直接二分找到一個合適的位置，插入便可

和lgj學長學的,嘿嘿

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;
int n,m,ans,a[100001];
vector<int>v;
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)    
        scanf("%d",&a[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int now=upper_bound(v.begin(),v.end(),a[i])-v.begin();
        ans=ans+i-now-1,v.insert(v.begin()+now,a[i]);
    }
    printf("%d",ans);
    return 0;
}

兩倍經驗
點這裏