Codeforces Round #688(Div 2) D. Checkpoints

題目連接：https://codeforces.com/contest/1453/problem/D

思路

第一步，先推導1,0,0,……，0，就是1後面跟了n-1個0的時候
所須要的指望步數

封閉式推導

\(f_n\)表明從n關開始直接通關須要的步數的指望
n爲1的狀況，即就只有一個1
\(f_1=\cfrac{1}{2} \times 1+\cfrac{1}{2} \times (f_1+1)\)
整理得\(f_1=2\)
第一關時，你有一半的機率通關，有一半的機率回到自身從新開始
n爲2的狀況，1,0
\(f_1=\cfrac{1}{2} \times(f_1+1)+\cfrac{1}{2} \times (f_2+1)\)
\(f_2=\cfrac{1}{2} \times 1+\cfrac{1}{2} \times (f_1+1)\)
整理得\(f_1=6\)
第一關時，你有一半的機率到達第二關，有一半的機率回到自身從新開始
第二關時，你有一半的機率通關，有一半的機率回到第一關從新開始
這樣咱們就能夠進行概括總結
把每一個式子化簡一下
\(f_1=\cfrac{1}{2} f_1+\cfrac{1}{2} f_2+1\)
\(f_2=\cfrac{1}{2} f_1+\cfrac{1}{2} f_3+1\)
\(f_3=\cfrac{1}{2} f_1+\cfrac{1}{2} f_4+1\)
……
\(f_i=\cfrac{1}{2} f_1+\cfrac{1}{2} f_{i+1}+1\)
……
\(f_n=\cfrac{1}{2} f_1+1\)
而後本身整理一下，就是兩個等比數列的和
就獲得了\(f_1\)的封閉式
對於任意狀況的n時，\(f_1=2^{n+1}-2\)

思路推動

推導出1,……，0,0的指望公式以後，咱們若是再後面繼續添加1,0,……，0這樣一個序列
那麼他的指望是直接相加的，由於他是一個復活點（檢查點），跟你前面的序列一點關係都沒有
因此你不管怎麼增長都是一個2的倍數，這樣也就獲得奇數的時候是無解的

代碼實現