關於快速沃爾什變換(FWT)的一點學習和思考

　　最近在學FWT，抽點時間出來把這個算法總結一下。

 

　　快速沃爾什變換（Fast Walsh-Hadamard Transform），簡稱FWT。是快速完成集合卷積運算的一種算法。

　　主要功能是求：，其中爲集合運算符。

　　就像FFT同樣，FWT是對數組的一種變換，咱們稱數組X的變換爲FWT(X)。

　　因此FWT的核心思想是：

　　　　爲了求得C=A★B，咱們瞎搞搞出一個變換FWT(X)，

　　　　使得FWT(C)=FWT(A)  FWT(B)，而後根據FWT(C)求得C。

　　　　（其中★表示卷積運算，表示將數組對應下標的數相乘的運算）

　　　　也就是說咱們能夠經過FWT(X)變換把複雜度O(n^2)的★運算變爲O(n)的運算。

　　跟FFT是徹底相同的。因此咱們考慮怎麼搞出這個FWT(X)。

 

　　與運算(&)和或運算(|)最容易理解，咱們先講講這兩個怎麼搞。咱們以或運算爲例。

　　若 x | y = z，那麼x和y必定知足二進制中的1爲z的子集。

　　因此咱們能夠令FWT(A)=A'，其中。（「i | j = i」就是表示「j知足二進制中的1爲i的子集」）

　　（雖然以上兩行根本構不成邏輯，可是請相信這個定義就是正確的）

　　因而咱們就有C'=A'  B'，從這些數組的定義來看，這個式子確實是正確的。

　　而後咱們就要研究一下FWT(A)也就是A'怎麼求。固然不能枚舉 i 的子集，這樣複雜度過高。

　　既然是二進制的，咱們不妨考慮用分治進行計算。（爲毛是二進制就要用分治啊喂！）

　　咱們設A0爲A的前一半，A1爲A的後一半，若是A的長度爲2^k，那麼A0、A1的長度爲2^(k-1)。

　　若是咱們知道了FWT(A0)和FWT(A1)，那麼FWT(A)是否是就能夠求了呢？固然能夠。

　　　　FWT(A)的前一半至關於二進制位的第k位填了0，那麼是它子集的仍然只有FWT(A0) （它自己）；

　　　　FWT(A)的後一半至關於二進制位的第k位填了1，那麼是它子集的不只僅有FWT(A1) （它自己），還有FWT(A0)。

　　那麼轉移就出來了，。

　　其中merge(X,Y)爲X和Y兩個數組接在一塊兒，  表示將數組對應下標的數相加的運算。

　　這樣咱們就在O(2^k*k)也就是O(nlogn)的時間內求出了FWT(A)。

　　還有一個問題，咱們怎麼經過FWT(C)求得C？

　　這不就是FWT()的逆變換嗎？根據轉移方程，你難道不會倒着推回來嗎？

　　這其實就至關於你知道了A0'、A1'，而後要求得A0、A1。

　　由於咱們已經知道了A0'=A0，A1'=A1+A0，因此咱們就有A0=A0'，A1=A1'-A0'。

　　因此：

　　　　。

 

　　既然知道了或運算，與運算也是同樣的，由於與運算和或運算本質是相同的。

　　讀者能夠試着本身推一遍，再繼續往下看：

　　　　

　　　　

 

　　而後就是鬼畜的異或，先說結論：

　　　　

　　　　

　　一種比較靠譜的說法是，其中d(x)爲x的二進制中1的個數。

　　先想想再往下看吧~

　　而後你可能會想，與和或本質上不是相同的嗎？

　　而後就有，其中d'(x)爲x的二進制中0的個數。

　　而後就有，

　　　　　　。

　　而後結果是一毛同樣的。

　　（其實就是把整個數組倒過來而已）

　　因此又回到FWT的核心思想：

　　　　爲了求得C=A★B，咱們瞎搞搞出一個變換FWT(X)，

　　　　使得FWT(C)=FWT(A)  FWT(B)，而後根據FWT(C)求得C。

　　因此咱們只要找到運算中，數字x的一個特徵FWT(x)，知足FWT(x  y)=FWT(x)*FWT(y)。這個特徵就是FWT啦~

　　怎麼樣，是否是給你一種「我上我也行」的感受？

　　而後你試圖尋求異或FWT的更簡單的公式：

　　而後你開始腦補：。

　　而後驚喜地發現正好知足 FWT(C)=FWT(A)  FWT(B) ！

　　而後你開始寫轉移公式：

　　　　

　　　　

　　　　

　　（以上18行都是小C在口胡）

 

　　到底有沒有靠譜的作法呢？小D說他有一種解方程的作法。

　　爲了避免失通常性，假設A、B、C數組的長度爲2。C=A★B，爲異或卷積運算。

　　而後顯然C[0] = A[0]*B[0] + A[1]*B[1]  ， C[1] = A[0]*B[1] + A[1]*B[0]。

　　而後咱們開始變形了！因爲(咱們猜測)FWT(A)必定是a*FWT(A0) + b*FWT(A1)的形式，因此：

　　　　設A'[0] = a*A[0] + b*A[1]，A'[1] = c*A[0] + d*A[1]。

　　　　B和C同理，由於小C知道列一大堆方程出來確定沒人看因此小C就不列出來了。

　　而後就有C'[0] = A'[0]*B'[0]。解方程，得：

　　由於a,b不一樣時等於0，因此a=1，b=±1。同理，c=1，d=±1。

　　（因爲解方程過程當中有不少槽點因此小C也不能保證正確性）

　　而後到底是+1仍是-1呢？小D給的說法是「枚舉，check一下」。

　　check個鬼啊(╯‵□′)╯︵┻━┻！這個作法槽點真的太多了好嗎？

　　不過可以得出正確答案是真的。