一個數學很差的菜雞的快速沃爾什變換(FWT)學習筆記

一個數學很差的菜雞的快速沃爾什變換(FWT)學習筆記

曾經某個下午我覺得我會了FWT，結果如今一丁點也想不起來了……看來「學」完新東西不常常作題不寫博客，就白學了 = =

我沒啥智商 ，網上的FWT博客我大多看不懂，下面這篇博客是留給我我再次忘記FWT時看的，因此像我同樣的沒智商選手應該也能看懂！有智商選手更能看懂咯！

（寫得很是匆忙，若有任何錯誤請在評論區指正！TAT）

什麼是FWT

FWT是用來快速作位運算卷積的。位運算卷積是什麼？給出兩個數組\(A\)和\(B\)（長度相等且是2的整數次冪），求一個數組\(C\)，知足\(A * B = C\)，這個「\(*\)」的定義以下：\[A * B = C \Leftrightarrow C_k = \sum_{i\oplus j = k}A_i \cdot B_j\] 其中「\(\oplus\)」是一種位運算，能夠是與(&)、或(|)、異或(^)。

爲何要有一個變換呢？回想一下FFT，FFT求\(A*B\)時（這個「\(*\)」是多項式乘法那個卷積），是把\(A\)和\(B\)各自「變換」了一下，而後把變換後的數組按位相乘，獲得「變換後的\(C\)」——\(tf(C)\)，而後把\(tf(C)\)逆變換回去，獲得\(C\)數組。

FWT作位運算卷積的原理也相似，想要實現快速位運算卷積，就要找到一種變換\(tf\)知足\(tf(A*B) = tf(A)\times tf(B)\)，這裏的「\(\times\)」表示兩個數組按位相乘（和那個表示卷積的「\(*\)」不是一個符號）。

再強調一下本文中符號的定義，在下文中：

\[A * B = C \Leftrightarrow C_k = \sum_{i\oplus j = k}A_i \cdot B_j\]
\[A \times B = C \Leftrightarrow C_i = A_i \cdot B_i\]

用FWT解決或卷積

或卷積，就是把\(A * B = C \Leftrightarrow C_k = \sum_{i\oplus j = k}A_i \cdot B_j\)中的「\(\oplus\)」定義爲按位或運算(|)。咱們的目標是找到一種變換\(tf\)知足\(tf(A*B) = tf(A)\times tf(B)\)，還要找到一種逆變換\(utf\)，能把\(tf(C)\)變回\(C\)。

目標

• 找到\(tf\)
• 找到\(utf\)

找到\(tf\)

這是位運算，因此應該按位分治。

根據下標在最高位是0仍是1，把\(A\)數組拆成兩個數組\(A_0\)和\(A_1\)，\(A_0\)是\(A\)中下標最高位是0的元素組成的數組，\(A_1\)是\(A\)中下標最高位是1的元素組成的數組——實際上，\(A_0\)就是\(A\)的前一半，\(A_1\)是\(A\)的後一半。用\(A = (A_0, A_1)\)表示這種「等式右邊兩個數組首尾相接就能獲得等式左邊的數組」的關係。

定義\[tf(A) = (tf(A_0), tf(A_1) + tf(A_0))\]

當\(A\)長度爲1，沒法再劃分時，\(tf(A) = A\)。

對了，顯然\(tf(X + Y) = tf(X) + tf(Y)\)，這裏「\(+\)」就是按位相加。

（這個\(tf\)是怎麼找到的？這篇博客講了講……可是即便我知道了如何找到或卷積的\(tf\)，異或卷積的我仍是找不出來……仍是甩出這個式子而後證實它吧。）

來證實一下\(tf(C = A * B) = tf(A) \times tf(B)\)。

當\(A, B\)長度均爲1時顯然。

當\(A, B\)長度大於1時 ，咱們使用概括法——能夠假定「長度除以2後\(tf(C = A * B) = tf(A) \times tf(B)\)是成立的」，即\[tf(A_0*B_0) = tf(A_0) \times tf(B_0)\\tf(A_1 * B_1) = tf(A_1) \times tf(B_1)\\tf(A_0 * B_1) = tf(A_0) \times tf(B_1)\\tf(A_1 * B_0) = tf(A_1) \times tf(B_0)\]若是咱們在這四個條件的基礎上能證實\(tf(C = A * B) = tf(A) \times tf(B)\)，則這四個條件遞歸證實便可，遞歸到長度爲1時，就直接證畢了。

那麼如何證實當前這一層\(tf(C = A * B) = tf(A) \times tf(B)\)呢？

首先，\[C=(A_0 * B_0, A_1 * B_0 + A_0 * B_1 + A_1 * B_1)\]。這是能夠理解的：在\(A\)中最高位是0的一個下標，和在\(B\)中最高位是0的一個下標，或起來仍是0，因此他倆卷積的結果應該放在\(C_0\)中，其他三項同理。

而後從等式左邊推一下，\[\begin{align*}tf(C) &= (tf(A_0 * B_0), tf(A_1 * B_0 + A_0 * B_1 + A_1 * B_1) + tf(A_0 * B_0))\\&=(tf(A_0*B_0), tf(A_1*B_0) + tf(A_0*B_1) + tf(A_1 * B_1) + tf(A_0 * B_0)) \\ &= (tf(A_0) \times tf(B_0), tf(A_1) \times tf(B_0) + tf(A_0) \times tf(B_1) + tf(A_1) \times tf(B_1) + tf(A_0)\times tf(B_0))\end{align*}\]

這一步是基於\(tf\)的定義以及上面的那四個條件的。

而後從等式右邊推一下，\[\begin{align*}tf(A) \times tf(B) &= (tf(A_0), tf(A_1) + tf(A_0)) \times (tf(B_0), tf(B_1) + tf(B_0)))\\&=(tf(A_0) \times tf(B_0), tf(A_0)\times tf(B_0) + tf(A_1) \times tf(B_0) + tf(A_0) \times tf(B_1) + tf(A_1) \times tf(B_1))\end{align*}\]

這一步是基於「\(\times\)」符號的意義——按位相乘得出來的。

這樣一來，等式兩邊剛好相等誒！

因此咱們已經找到了或卷積的\(tf\)：\[tf(A) = (tf(A_0), tf(A_1) + tf(A_0))\]

找到\(utf\)

目標：找到一個\(utf\)使得\(utf(tf(A)) = A\)。

這至關於把上面那個式子倒着推，怎麼個倒推法呢？

正着推是已知\(A = (A_0, A_1)\)，求\(tf(A) = (tf(A)_0, tf(A)_1)\)。

倒着推就是已知\(tf(A) = (tf(A)_0, tf(A)_1)\)，求\(utf(tf(A)) = A = (A_0, A_1) = (utf(tf(A_0)), utf(tf(A_1)))\)。

那麼根據上面的\(tf(A) = (tf(A_0), tf(A_1) + tf(A_0))\)，有\(tf(A)_0 = tf(A_0), tf(A)_1 = tf(A_0) + tf(A_1)\)。

因此直接獲得\(tf(A_0) = tf(A)_0\), 兩式相減又獲得\(tf(A_1) = tf(A)_1 - tf(A)_0\)。

因此\(utf(tf(A)) = A = (A_0, A_1) = (utf(tf(A_0)), utf(tf(A_1)) = (utf(tf(A)_0), utf(tf(A)_1 - tf(A)_0))\)

將\(tf(A)\)替換成\(A\)，獲得\(utf(A) = (utf(A), utf(A_1) - utf(A_0))\)

這就是逆變換\(utf\)了。

總結

或卷積的FWT：

\[tf(A) = (tf(A_0), tf(A_1) + tf(A_0))\]
\[utf(A) = (utf(A), utf(A_1) - utf(A_0))\]

用FWT解決與卷積

與卷積和或卷積很是相似。

有\(C = (A_0*B_0 + A_0*B_1 + A_1 *B_0, A_1*B_1)\)

定義\[tf(A) = (tf(A_0) + tf(A_1), tf(A_1))\]

相似上面或卷積的證實過程能夠證實它。

相似地，\[utf(A) = (utf(A_0) - utf(A_1), utf(A_1))\]

用FWT解決異或卷積

和上面的也很相似，可是異或卷積的式子更復雜一丁點。它是：

\[tf(A) = (tf(A_0) + tf(A_1), tf(A_0) - tf(A_1))\]
\[utf(A) = (\frac{utf(A_0) + utf(A_1)}{2}, \frac{utf(A_0) - utf(A_1)}{2})\]

證實嘛……和上面的或卷積證實也差很少！

板子

個人異或卷積板子：

ll inc(ll x, ll y){return (x += y) >= P ? x - P : x;}
ll dec(ll x, ll y){return (x -= y) < 0 ? x + P : x;}
void transform(ll *a, int n, bool inv){
    for(int l = 2; l <= n; l <<= 1){
    int m = l >> 1;
    for(ll *p = a; p != a + n; p += l)
        for(int i = 0; i < m; i++){
        ll t = p[i + m];
        p[i + m] = dec(p[i], t);
        p[i] = inc(p[i], t);
        }
    if(inv)
        for(int i = 0; i < n; i++)
        a[i] = a[i] * inv2 % P;
    }
}

異或已是寫起來最長的啦，其餘兩個都特別短～