Fast Walsh-Hadamard Transform——快速沃爾什變換

模板題：

　　給定$n = 2^k$和兩個序列$A_{0..n-1}$, $B_{0..n-1}$，求

　　$$C_i = \sum_{j \oplus k = i} A_j B_k$$

　　其中$\oplus$是某一知足交換律的位運算，要求複雜度$O(nlogn)$。

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快速沃爾什變換：

　　這是什麼東西？能吃嗎？有用嗎？ 請參閱SDOI2017r2d1-cut。

　　看到這個你們是否是馬上想到了快速傅里葉變換？

　　$$C_i = \sum_{j + k = i} A_j B_k$$

　　咱們來想一想離散傅里葉變換的本質。

　　$$\begin{aligned}& DFT(A)_i \\
　　&= A(\omega_n^i)\\
　　&=\sum_{j=0}^{n-1} A_j * (\omega_n^i)^j\end{aligned}$$

　　令$f(n, i, j) = (\omega_n^i)^j$，則

　　$$DFT(A)_i = \sum_{j=0}^{n-1} A_j f(n, i, j)$$

　　它要知足$DFT(A)_i * DFT(B)_i = DFT(C)_i$，即

　　$$(\sum_{j=0}^{n-1} A_j f(n, i, j))(\sum_{k=0}^{n-1} B_k f(n, i, k))=\sum_{l=0}^{n-1} C_l f(n, i, l)$$

　　$$\sum_{j=0}^{n-1} \sum_{k=0}^{n-1} A_j B_k f(n, i, j) f(n, i, k))=\sum_{l=0}^{n-1} (\sum_{a+b=l} A_a B_b) f(n, i, l)$$

　　這時咱們發現左右分別有$n^2$項，令對應項係數相等，得

　　$$f(n, i, j)f(n, i, k) = f(n, i, j + k)$$

　　只要任意一個能夠進行逆變換且知足上述條件的$f$均可以。

　　如今咱們把上面的$+$都改爲$\oplus$，就是離散沃爾什變換即

　　$$DWT(A)_i = \sum_{j=0}^{n-1} A_j f(n, i, j)$$

　　$$f(n, i, j)f(n, i, k) = f(n, i, j \oplus k)$$

　　怎麼樣，是否是雲裏霧裏頓開茅塞？

　　然而咱們還須要變快，因此快速傅里葉變換採用

　　$$f(n, i, j) = (\omega_n^i)^j$$

　　那它有什麼優美的性質呢？

　　咱們發現， 因爲有折半引理，$f(n, i, j)$和$f(n, i+n/2, j)$能夠同時從$f(n/2,i,j)$得來。

　　那麼，從感性的角度，既然$\oplus$是一個位運算，那麼應該更容易找到一個跟位運算有關的$f$，這樣就天然有相似折半引理的東西使得咱們能夠作到上述事情。

　　例如，當$\oplus$是位與時，能夠取$f(i, j) = [i \& j = i]$， 即$j$的二進制徹底包含在$i$的二進制裏時爲1，不然爲0。

　　當$\oplus$是位異或時， 可取$f(i, j) = (-1)^{count(i \& j)}$，其中$count(x)$表示$x$的二進制表示中1的個數。

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逆變換：

　　逆變換看上去好難啊。。。

　　其實逆變換仍是比較簡單的。由於既然$f$跟位運算有關，我就只須要考慮某一位就行了。

　　例如$\oplus$是位異或時我考慮$n=2,A=(a_0, a_1)$，

　　那麼$DWT(A) = (da_0 = a_0 + a_1, da_1 = a_0 - a_1)$

　　我只須要解一個二元一次方程（把$da_0, da_1$做爲常數， $a_0, a_1$做爲變量）就能夠解出$a_0, a_1$了。

　　沒了。

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關於$f$函數的構造：

　　$f$函數怎麼構造。。。和逆變換的方法差很少啊。。。只須要看$n=2$的狀況就行（實際上通常就是$-1$的幾回冪，或者$0, 1, -1$)

　　若是記憶力好能夠把全部都背下來，反正知足交換律的位運算只有8個,其中還有2個是全一和全零。。。

　　把剩下六個列出來吧。。。（下列$f$函數均將第一個參數$n$省略， $[expr]$在布爾表達式$expr$爲真時爲1， 不然爲0）

　　$\oplus$爲位與： $f(i, j) = [j \& i = i]$.

　　$\oplus$爲位或： $f(i, j) = [j \& i = j]$.

　　$\oplus$爲位異或： $f(i, j) = (-1)^{count(i \& j)}$.

　　$\oplus$爲位與非，位或非的時候把三個數組的下標都取反就對應位或和位與。

　　$\oplus$爲同或時直接求位異或卷積再把$C$的下標取反就好了。

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吐槽：

　　明明能夠背代碼我偏要說這麼多。。。

　　只是由於閒的慌。。。

　　固然是要幫助你們更好的理解FWT。

　　至於爲何要知足交換律。。。我纔不會告訴你我尚未搞出不知足怎麼作。

 　　有同窗說FWT難以感性理解。。。我也不知道如何感性理解。。。

　　代碼嘛。。。直接拿FFT改一改就行了。。。

　　

 1 void FWT(int *P, int len) {
 2   if (len == 1) return;
 3   FWT(P, len / 2);
 4   FWT(P + len / 2, len / 2);
 5   for (int i = 0; i < len / 2; ++i) {
 6     int t1 = P[i], t2 = P[i + len / 2];
 7     P[i] = t1 + t2;
 8     P[i + len / 2] = t1 - t2;
 9   }
10 }
11 void IFWT(int *P, int len) {
12   if (len == 1) return;
13   for (int i = 0; i < len / 2; ++i) {
14     int t1 = P[i], t2 = P[i + len / 2];
15     P[i] = (t1 + t2) / 2;
16     P[i + len / 2] = (t1 - t2) / 2;
17   }
18   IFWT(P, len / 2);
19   IFWT(P + len / 2, len / 2);
20 }

FWT異或卷積