拓端tecdat|R語言多元動態條件相關DCC-MVGARCH、常相關CCC-MVGARCH模型進行多變量股市波動率預測

 引言

當從單變量波動率預測跳到多變量波動率預測時，咱們須要明白，如今咱們不只要預測單變量波動率元素，還要預測協方差元素。假設你有兩個序列，那麼這個協方差元素就是2乘2方差-協方差矩陣的對角線。咱們應該使用的準確術語是 "方差-協方差矩陣"，由於該矩陣由對角線上的方差元素和非對角線上的協方差元素組成。可是因爲讀 "方差-協方差矩陣 "很是累人，因此一般被稱爲協方差矩陣，或者有時不太正式地稱爲var-covar矩陣。

若是你還在讀這篇文章，說明你在創建相關關係模型方面有一些經驗。鑑於你知道各個序列的方差，相關和協方差之間的聯繫是直接的。 

  

因此當我第一次研究這個問題時，我不明白爲何咱們不單獨創建全部非對角線的模型，例如使用樣本成對相關的滾動窗口呢？你想有一個有效的相關矩陣，這意味着對稱（很容易施加）和正負無限。

首先，爲何非負定屬性很重要，其次，爲何它不容易施加。把非負定屬性看做是多變量的，至關於單變量狀況下對波動率的正向施加。你不會想讓你的模型生成負的波動率吧？在單變量的狀況下，乘以任何平方數，咱們均可以保持在正數的範圍內。在更高的維度上，確保協方差的 "正性 "涉及到乘法，不是乘以一個平方的標量，而是乘以一個 "平方 "的矢量。
 

將XC表示爲居中的隨機變量X，因此 。如今根據定義是一個協方差矩陣，顯然是非負定的。如今，若是咱們用矩陣乘以一個 "平方 "向量，咱們能夠將向量 "插入 "指望值中（由於（1）向量不是隨機變量，以及（2）指望算子的線性）。咱們（應該）仍然獲得非負定矩陣。  你用哪一個向量並不重要，由於它是 "平方 "的。

若是咱們對協方差條目進行單獨建模，並將它們 "修補 "成一個矩陣，將每一個成對的協方差放在正確的位置（例如，變量1和變量3之間的協方差在條目和 ，不能保證咱們最終獲得一個非負定的矩陣。因爲不存在非負定的協方差矩陣，那麼咱們就有可能獲得一個無效的協方差矩陣。

從業人員因爲擺脫了繁瑣的學術判斷過程，可能會擺脫這個理論上的失誤。然而，還有其餘問題，在本質上是計算上的問題。一個非負的無限矩陣能夠有零或負的行列式。在許多貝葉斯的應用中，咱們但願使用精確矩陣而不是協方差矩陣。爲了計算精確矩陣，咱們簡單地反轉協方差矩陣，但這意味着咱們要除以行列式，所以，行列式爲零就會產生問題。
 

 

文獻中的主要構建模塊是GARCH過程。假設咱們有一個隨機變量，咱們能夠用它的波動率來建模。 

(1) 

很容易理解。對於今天的波動率來講，重要的是昨天的波動率，特別強調的是昨天的衝擊，。請記住，若是，那麼僅僅是對方差的估計，而沒有考慮到t-1之前的任何狀況。
 

 

提升維度

如今，添加另外一個隨機變量 。你如今有兩個波動率和一個協方差項。可是，爲何不以向量自動迴歸（VAR）擴展自動迴歸的一樣方式來擴展這個過程？進入VEC模型。

(2) 

這裏是一個矢量化運算符，將一個矩陣做爲一個矢量進行堆疊。因爲矩陣的對稱性，咱們不須要全部的係數，因此更好的表述：
 

(3) 

 

這個模型背後的直覺與VAR的基礎是同樣的。也許當股票的波動率高時，債券的波動率就低，也許當債券的波動率高時，與股票的協方差就高，等等。

這個模型的一個潛在問題，也是與VAR類似的，就是波動率是獨立的過程，這意味着只有A和B的對角線是重要的，在這種狀況下，咱們只是用沒必要要的估計噪音來干擾這個模型。以前提到的另外一個計算問題是，因爲咱們沒有對矩陣過程自己進行建模，而是對三個項逐一進行建模，因此咱們不能確保結果是一個有效的協方差矩陣，特別是沒有施加非負-無限約束。BEKK模型（Baba, Engle, Kraft and Kroner, 1990）取得了這一進展。有一個很好的理由不詳細討論這些 "第一代 "模型。它們對於少數幾個變量來講是很是難以估計的。我沒有親自嘗試過那些模型。對於這些模型，即便人們成功地進行了估計，就實踐者而言，估計的複雜性給結果帶來了很大問題。

 

CCC 和DCC

恩格爾（2002）在其開創性的論文中提出了下一個重要的步驟，隨後文獻中出現了一個高潮。"Dynamic Conditional Correlation: 一類簡單的多變量廣義自迴歸條件異方差模型"。從摘要中能夠看出："這些（模型）具備單變量GARCH模型的靈活性，加上參數化的相關模型"。這類條件相關模型的關鍵切入點是要認識到 

(4) 

是一個矩陣，對角線上是各個序列的波動率（如今單獨估計），對角線外是零。這只是以矩陣形式對咱們開始時的常規方程進行了處理。 ，由於。如今具有幾個條件：

• 把對角線和非對角線分開，你能夠用一般的單變量GARCH估計值來 "填補 "這個對角線。非對角線是由相關矩陣給出的，咱們如今能夠對其進行決定。當咱們假設一個恆定的相關矩陣（CCC），也就是說，咱們能夠天然地使用樣本相關矩陣。咱們能夠假設該矩陣是時變的，並使用滾動窗口或指數衰減權重或其餘方式來估計它。
• 因爲二次形式，而且由於是相關矩陣，咱們確定會獲得一個有效的協方差矩陣，即便咱們使用恆定的相關矩陣，它也是時間變化的。
• 因爲這種對角線與非對角線的分離，咱們實際上能夠處理許多變量，與 "第一代 "類模型很是不一樣。我認爲，這是該模型被接受和流行的主要緣由。 

如今咱們進行估計。

使用R進行估算

讓咱們獲得一些數據。咱們提取三個ETF的過去幾年的數據。SPY（追蹤標準普爾500指數），TLT和IEF（分別追蹤長期和中期債券）。

k <- 3 # 多少年數據
sym = c('SPY', 'TLT', "IEF") #  標準普爾500指數，長期和中期債券，全部ETFs
for (i in 1:l)getSymbols(sym[i], src="yahoo", from=start, to=end)
ret <- na.omit(ret)#  刪除第一個觀察值

如今來演示如何使用CCC和DCC模型構建協方差矩陣。咱們首先獲得單變量波動率。咱們須要它們，它們位於對角線矩陣的對角線上。咱們用重尾的不對稱GARCH來估計它們。

garch(distribution="std") #std是學生t分佈

volatilityfit # 用一個矩陣來保存三種資產的波動率

for (i in 1:l) model = ugarchfit(spec,ret[,i])

如今，一旦咱們有了，咱們就可以建立基於CCC和DCC的協方差矩陣。對於CCC（恆定條件相關），咱們使用樣本相關矩陣，而對於DCC（動態），咱們使用基於例如3個月的移動窗口估計的相關矩陣。

# 建立一個CCC模型的協方差

nassets <- l #  爲了提升可讀性，l看起來太像1了。

# 爲不一樣時期的矩陣製做容器。

array(dim=c(n, nassets, TT))

# 計算樣本無條件的相關矩陣。

samp_cor <- cor(ret) # 在整個循環過程當中會保持不變

wind <- 60 # 大概三個月的時間

for (i in (w+1):TT)
(volatilitfit[i,])*diag(assets)
cov_ccc
cor_tv 
cov_dcc<- dt %*% cor_tv[,,i] %*% dt

 

結果

結果按年計算，並乘以100，轉爲百分比，以提升可讀性。繪製它。

par()$mar # 邊距

plot(ann*cov_ccc[1,1,]~time

plot(ann*cov_ccc[1,2,]~time)

 

 

 

在上圖中，咱們有協方差矩陣的對角線。咱們看到（1）中期債券的波動性最低，正如預期的那樣，（2）SPY的波動性很大，方差也很高。(3) 曲線長端的方差高於中期的方差，這是收益率曲線文獻中一個典型的事實。(4) 有趣的是，長期債券的波動性一直在上升，這多是對即將提升政策利率的高度警覺。

在下圖中，咱們有三個協方差項，一次是假設CCC的估計（實線），一次是假設DCC的估計（虛線）。對於中期和長期債券之間的協方差，若是你假設恆定或動態相關矩陣，並不重要。然而，這對SPY與債券的協方差項確實很重要。例如，基於DCC的協方差矩陣認爲在2013年中期股票和債券之間的協方差幾乎爲零，而基於CCC的協方差則代表在此期間的協方差爲負。到底是恆定的仍是動態的，對跨資產投資組合的構建可能有很大的影響。

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