機器學習之使用Python完成邏輯迴歸

1、任務基礎

咱們將創建一個邏輯迴歸模型來預測一個學生是否被大學錄取。假設你是一個大學系的管理員，你想根據兩次考試的結果來決定每一個申請人的錄取機會。你有之前的申請人的歷史數據，你能夠用它做爲邏輯迴歸的訓練集。對於每個培訓例子，你有兩個考試的申請人的分數和錄取決定。爲了作到這一點，咱們將創建一個分類模型，根據考試成績估計入學機率。

數據集連接爲：連接：https://pan.baidu.com/s/1H3T3RfyT3toKbFrqO2z8ug，提取碼：jku5 

首先導入須要使用到的Python庫：

# 數據分析三個必備的python庫
import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline

讀取數據而後查看數據：

import os

path = "data" + os.sep + "LogiReg_data.txt"
# header=None 表示沒有列標籤 第三列表示考生是否被錄取 Exam 1 Exam 2  表示兩個特徵
pdData = pd.read_csv(path, header=None, names=['Exam 1', 'Exam 2', 'Admitted'])
pdData.head()

　　

查看數據維度：

pdData.shape  

(100, 3)

根據是否錄取爲標準，查看數據集的分佈

# pdData 是二維數組
positive = pdData[pdData['Admitted'] == 1]
negative = pdData[pdData['Admitted'] == 0]

fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 5))
# 繪製散點圖
ax.scatter(positive['Exam 1'],
           positive['Exam 2'],
           s=30,
           c='b',
           marker='o',
           label='Admitted')
ax.scatter(negative['Exam 1'],
           negative['Exam 2'],
           s=30,
           c='r',
           marker='x',
           label='Not Admitted')
ax.legend()  # 添加圖例
ax.set_xlabel('Exam 1 Score')
ax.set_ylabel('Exam 2 Score')

　　

2、定義函數模塊

接下來按照模塊化編程：

　θ₀表示第一個考試成績權重，θ₁表示第二個考試成績權重，θ₂表示偏置項

　　

首先，定義Sigmoid函數

def sigmoid(z):
    return 1 / (1 + np.exp(-z))

查看Sigmoid函數圖像：　

# sigmoid函數圖像
nums = np.arange(-10, 10, step=1)
fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 5))
ax.plot(nums, sigmoid(nums), 'r')

　　

根據上圖咱們能夠看到，這個函數的值域是0到1。當x趨近於負無窮時，y趨近於0，當x趨近於正無窮時，y趨近於1。而且當x等0時，y等於0.5。

返回預測結果值：

　　

def model(X, theta):
    return sigmoid(np.dot(X, theta.T)) # 矩陣乘法  

在第一列的前面在加上數據全爲1的一列，爲了方便上面的矩陣進行運算。　　

# pdData.drop('Ones', 1, inplace=True)  # 刪除添加的Ones列
pdData.insert(0, 'Ones', 1)

orig_data = pdData.as_matrix()
# print(orig_data.shape)
cols = orig_data.shape[1]
X = orig_data[:, 0:cols - 1]
y = orig_data[:, cols - 1:cols]

# 三個θ參數，用零佔位
theta = np.zeros([1, 3])

查看X五個樣本數據　　

X[:5]

　　

查看y五個樣本數據

y[:5]

　　

查看theta參數

theta

　　

查看X，y，theta的維度　　

X.shape, y.shape, theta.shape

((100, 3), (100, 1), (1, 3))

根據以上，咱們能夠檢查到前面都是沒有問題的。使用Notebook開發就是這個好處，能夠邊作邊檢查。

根據參數計算損失：

　　

def cost(X, y, theta):
    left = np.multiply(-y, np.log(model(X, theta)))
    right = np.multiply(1 - y, np.log(1 - model(X, theta)))
    # print(left.shape)
    # print("===========================")
    # print(right.shape)
    return np.sum(left - right) / len(X)

計算cost值，檢查cost函數是否正確　　

cost(X, y, theta)

0.6931471805599453　　

計算每一個參數的梯度方向：

　　

def gradient(X, y, theta):
    grad = np.zeros(theta.shape) # 一共三個參數  因此計算三個參數的梯度 
    error = (model(X, theta) - y).ravel() # ravel展平數組
    for j in range(len(theta.ravel())):
        term = np.multiply(error, X[:, j])
        grad[0, j] = np.sum(term) / len(X) # grad[0, 0] grad[0, 1] grad[0, 2]
    return grad

比較3種不一樣梯度降低方法：

（1）批量梯度降低
（2）隨機梯度降低
（3）小批量梯度降低 

STOP_ITER = 0 # 按照迭代次數中止
STOP_COST = 1 # 按照損失值中止，兩次迭代損失值很小則中止
STOP_GRAD = 2 # 根據梯度中止，梯度變化很小則中止


# threshold 閾值
def stopCriterion(type, value, threshold):
    # 設定三種不一樣的中止策略
    if type == STOP_ITER:
        return value > threshold
    elif type == STOP_COST:
        return abs(value[-1] - value[-2]) < threshold
    elif type == STOP_GRAD:
        return np.linalg.norm(value) < threshold

打亂數據，防止有規律數據　　

import numpy.random

# 打亂數據
def shuffleData(data):
    np.random.shuffle(data)
    cols = data.shape[1]
    X = data[:, 0:cols - 1]
    y = data[:, cols - 1:]
    return X, y　

進行參數更新

import time

# 梯度降低求解  batchSize取1表明隨機梯度降低，取總樣本數表明梯度降低，取1~總樣本數之間表明miniBatch梯度降低
def descent(data, theta, batchSize, stopType, thresh, alpha):
    init_time = time.time() # 初始時間  thresh：閾值，alpha：學習率
    i = 0 # 迭代次數
    k = 0 # batch
    X, y = shuffleData(data)
    grad = np.zeros(theta.shape) # 計算的梯度
    costs = [cost(X, y, theta)] #損失值

    while True:
        grad = gradient(X[k:k + batchSize], y[k:k + batchSize], theta)
        k += batchSize # 取batch數量個數據 n可能表明0
        if k >= n:
            k = 0
            X, y = shuffleData(data) # 從新打亂數據
        theta = theta - alpha * grad # 參數更新
        costs.append(cost(X, y, theta)) # 計算新的損失
        i += 1

        if stopType == STOP_ITER:
            value = i
        elif stopType == STOP_COST:
            value = costs
        elif stopType == STOP_GRAD:
            value = grad
        if stopCriterion(stopType, value, thresh):
            break
    return theta, i - 1, costs, grad, time.time() - init_time

進行結果的圖像展現的展現

def runExpe(data, theta, batchSize, stopType, thresh, alpha):
    theta, iter, costs, grad, dur = descent(data, theta, batchSize, stopType,
                                            thresh, alpha)
    name = "Original" if (data[:, 1 > 2]).sum() > 1 else "Scaled"
    name += " data - learning rate:{} - ".format(alpha)
    if batchSize == n:
        strDescType = "Gradient"
    elif batchSize == 1:
        strDescType = "Stochastic"
    else:
        strDescType = "Mini-batch ({})".format(batchSize)
    name += strDescType + " descent - Stop: "
    if stopType == STOP_ITER:
        strStop = "{} iterations".format(thresh)
    elif stopType == STOP_COST:
        strStop = "costs change < {}".format(thresh)
    else:
        strStop = "gradient norm < {}".format(thresh)
    name += strStop
    print(
        "***{}\nTheta:{} - Iter:{} - Last cost: {:03.2f} - Duration:{:03.2f}s".
        format(name, theta, iter, costs[-1], dur))
    fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 5))
    ax.plot(np.arange(len(costs)), costs, 'r')
    ax.set_xlabel('Iterations')
    ax.set_ylabel('Cost')
    ax.set_title(name.upper() + ' - Error vs. Iteration')
    return theta

3、實驗結果對比

下面對比三種中止策略對結果的影響

根據迭代次數中止，設定閾值5000次，也就是說迭代次數超過5000即中止迭代

n = 100 # 選擇全部樣本進行梯度降低
runExpe(orig_data, theta, n, STOP_ITER, thresh=5000, alpha=0.000001)

　　

上面迭代了5000次，看起來彷佛目標函數已經成功收斂。上面消耗一秒多的時間，看起來彷佛不太行，損失值0.63。下面根據損失值中止，設定閾值1E-6，也就是兩次損失值之差不能超過1E-6，差很少須要500000次迭代

runExpe(orig_data, theta, n, STOP_COST, thresh=0.0000001, alpha=0.001)

　　

根據圖片標題咱們能夠看到差很少迭代50萬次才達到咱們定義的閾值，而此時收斂的效果更好。損失值只有0.25，消耗的時間達到100多秒。下面根據梯度變化中止，設定閾值0.05，表示梯度相差0.05即中止迭代。

runExpe(orig_data, theta, n, STOP_GRAD, thresh=0.05, alpha=0.001)

　　

下面這三種對比不一樣的梯度降低方法　

下面1表示每次1次迭代只拿一個樣本，batchSize取1表明隨機梯度降低，取總樣本數表明梯度降低，取1~總樣本數之間表明miniBatch梯度降低

runExpe(orig_data, theta, 1, STOP_ITER, thresh=5000, alpha=0.001)

　　

有點爆炸。。。很不穩定，下面把迭代次數調高點，學習率調低點

runExpe(orig_data, theta, 1, STOP_ITER, thresh=15000, alpha=0.000002)

　　

能夠看出此次結果，速度快，但穩定性差，須要很小的學習率

下面進行Mini-batch descent，一次迭代拿16個樣本。

runExpe(orig_data, theta, 16, STOP_ITER, thresh=15000, alpha=0.001)

　　

浮動仍然比較大，咱們來嘗試下對數據進行標準化：將數據按其屬性(按列進行)減去其均值，而後除以其方差。最後獲得的結果是，對每一個屬性/每列來講全部數據都彙集在0附近，方差值爲1　　

from sklearn import preprocessing as pp

scaled_data = orig_data.copy()
scaled_data[:, 1:3] = pp.scale(orig_data[:, 1:3])

runExpe(scaled_data, theta, n, STOP_ITER, thresh=5000, alpha=0.001)

　　

它好多了！原始數據，只能5000次迭代損失值達到0.61，而咱們獲得了0.38在這裏！ 因此對數據作預處理是很是重要的　　

runExpe(scaled_data, theta, n, STOP_GRAD, thresh=0.02, alpha=0.001)

　　

 更多的迭代次數會使得損失降低的更多！　

theta = runExpe(scaled_data, theta, 1, STOP_GRAD, thresh=0.002/5, alpha=0.001)

　　 

隨機梯度降低更快，可是咱們須要迭代的次數也須要更多，因此仍是用batch的比較合適！！！　　

runExpe(scaled_data, theta, 16, STOP_GRAD, thresh=0.002*2, alpha=0.001)

　　

此次時間只花了0.16秒，損失值只有0.22，迭代次數也只有一千屢次，獲得的結果不錯。因此說當咱們進行數據梯度降低的時候，首先對數據進行預處理，而後再進行各類的嘗試，在這裏的話Mini-batch是比較好的，不管是從時間仍是結果來看。　

預測函數

def predict(X, theta):
    return [1 if x >= 0.5 else 0 for x in model(X, theta)]

計算準確率　　

scaled_X = scaled_data[:, :3]
y = scaled_data[:, 3]
predictions = predict(scaled_X, theta)
correct = [
    1 if ((a == 1 and b == 1) or (a == 0 and b == 0)) else 0
    for (a, b) in zip(predictions, y)
]
accuracy = (sum(map(int, correct)) % len(correct))
print('accuracy = {0}'.format(accuracy))

最終獲得準確率89%。

accuracy = 89%

總結：首先拿到數據集看下數據長什麼樣子，而後再給數據增長了一列全是1的數據，而後再對每一個模塊函數的編寫，最後對比各類策略下的實驗結果，最終得出最佳結果。