二項分佈。計算binomial(100,50,0.25)將會產生的遞歸調用次數（算法第四版1.1.27）

算法第四版35頁問題1.1.27，估計用一下代碼計算binomial(100,50,0.25)將會產生的遞歸調用次數：

public static double binomial(int n,int k,double p){
   if(n == 0 && k == 0) return 1.0;
   if(n<0 || k<0) return 0.0;
   return (1.0-p)*binomial(n-1,k,p) +p*binomial(n-1,k-1,p)      
}

雖然書上只讓估計調用次數，可是以爲想知道到底調用了幾回。

 

我用圖畫出遞歸調用的狀況

 

能夠看出遞歸中有不少重複調用好比，第4層遞歸 分別調用了binomial(n-3,k-1,p)和binomial(n-3,k-2,p)三次。這就是這個算法效率低的緣由。能夠看出重複調用的次數是一個楊輝三角。

根據楊輝三角的性質，

第m層遞歸函數被調用的狀況爲：

第m層第x(x<=m)項爲：

可是有些調用實際上不會發生，結合函數的返回條件：

if(n == 0 && k == 0) return 1.0;
if(n<0 || k<0) return 0.0;

 

設咱們傳入的初始參數爲n=N，k=K 則，能夠得出已下結論：

1. 當m=N+1且x=K+1時，知足程序退出的第一個條件；
2. 當m>N+1或x>K+1時，知足程序退出的第二個條件（根據楊輝三角的性質，第m行有m項，全部此時有K+1<x<=m）

讓咱們看看知足以上結論的詳細項：

　　1.下列遞歸調用的x>K+1，知足結論2：

• • 　　m=K+2行的第K+2項:
  • 　　m=K+3行的第K+2項到K+3項：
  • 　　……
  • 　　m=N+1行的第K+2項到最後一項：

　　2.m=N+1行的第K+1項遞歸調用的第一個參數n和第二個參數k均爲0，知足結論1。

　　3.當m=N+2時，顯然m>N+1，知足結論2;

 

若是調用參數知足函數退出條件，那麼由調用的遞歸實際上就不會發生，數量爲的係數✖️2。

N+2以後的遞歸都不會發生，因此作計算時只考慮到N+2層。N+2層的無效調用數量，爲N+1層知足結論1或2的調用的數量*2，一次類推，直到K+3層的無效調用數量，爲K+2層知足結論1或2的調用數量*2；K+2層到1層上，全部調用都有效；由於K+1層到1層，沒有調用知足結論1或2.

根據楊輝三角的性質：從第1層到第N+2層全部的係數和爲 

 

其中不會實際發生的調用次數爲從（K+2層到N+1層）：

化簡以後爲：

再次化簡

因此最後程序遞歸調用的總次數爲

 

運行隨機驗證幾個組合，能夠證實上述公式是正確的！