前綴、中綴、後綴表達式(轉載)

關鍵字：概念, 前綴表達式, 前綴記法, 中綴表達式, 中綴記法, 波蘭式, 後綴表達式, 後綴記法, 逆波蘭式

它們都是對錶達式的記法，所以也被稱爲前綴記法、中綴記法和後綴記法。它們之間的區別在於運算符相對與操做數的位置不一樣：前綴表達式的運算符位於與其相關的操做數以前；中綴和後綴同理。

舉例：
(3 + 4) × 5 - 6 就是中綴表達式
- × + 3 4 5 6 前綴表達式
3 4 + 5 × 6 - 後綴表達式

中綴表達式（中綴記法）
中綴表達式是一種通用的算術或邏輯公式表示方法，操做符以中綴形式處於操做數的中間。中綴表達式是人們經常使用的算術表示方法。
雖然人的大腦很容易理解與分析中綴表達式，但對計算機來講中綴表達式倒是很複雜的，所以計算表達式的值時，一般須要先將中綴表達式轉換爲前綴或後綴表達式，而後再進行求值。對計算機來講，計算前綴或後綴表達式的值很是簡單。

前綴表達式（前綴記法、波蘭式）
前綴表達式的運算符位於操做數以前。

前綴表達式的計算機求值：
從右至左掃描表達式，遇到數字時，將數字壓入堆棧，遇到運算符時，彈出棧頂的兩個數，用運算符對它們作相應的計算（棧頂元素 op 次頂元素），並將結果入棧；重複上述過程直到表達式最左端，最後運算得出的值即爲表達式的結果。
例如前綴表達式「- × + 3 4 5 6」：
(1) 從右至左掃描，將六、五、四、3壓入堆棧；
(2) 遇到+運算符，所以彈出3和4（3爲棧頂元素，4爲次頂元素，注意與後綴表達式作比較），計算出3+4的值，得7，再將7入棧；
(3) 接下來是×運算符，所以彈出7和5，計算出7×5=35，將35入棧；
(4) 最後是-運算符，計算出35-6的值，即29，由此得出最終結果。
能夠看出，用計算機計算前綴表達式的值是很容易的。

將中綴表達式轉換爲前綴表達式：
遵循如下步驟：
(1) 初始化兩個棧：運算符棧S1和儲存中間結果的棧S2；
(2) 從右至左掃描中綴表達式；
(3) 遇到操做數時，將其壓入S2；
(4) 遇到運算符時，比較其與S1棧頂運算符的優先級：
(4-1) 若是S1爲空，或棧頂運算符爲右括號「)」，則直接將此運算符入棧；
(4-2) 不然，若優先級比棧頂運算符的較高或相等，也將運算符壓入S1；
(4-3) 不然，將S1棧頂的運算符彈出並壓入到S2中，再次轉到(4-1)與S1中新的棧頂運算符相比較；
(5) 遇到括號時：
(5-1) 若是是右括號「)」，則直接壓入S1；
(5-2) 若是是左括號「(」，則依次彈出S1棧頂的運算符，並壓入S2，直到遇到右括號爲止，此時將這一對括號丟棄；
(6) 重複步驟(2)至(5)，直到表達式的最左邊；
(7) 將S1中剩餘的運算符依次彈出並壓入S2；
(8) 依次彈出S2中的元素並輸出，結果即爲中綴表達式對應的前綴表達式。
例如，將中綴表達式「1+((2+3)×4)-5」轉換爲前綴表達式的過程以下：

掃描到的元素	S2(棧底->棧頂)	S1 (棧底->棧頂)	說明
5	5	空	數字，直接入棧
-	5	-	S1爲空，運算符直接入棧
)	5	- )	右括號直接入棧
4	5 4	- )	數字直接入棧
×	5 4	- ) ×	S1棧頂是右括號，直接入棧
)	5 4	- ) × )	右括號直接入棧
3	5 4 3	- ) × )	數字
+	5 4 3	- ) × ) +	S1棧頂是右括號，直接入棧
2	5 4 3 2	- ) × ) +	數字
(	5 4 3 2 +	- ) ×	左括號，彈出運算符直至遇到右括號
(	5 4 3 2 + ×	-	同上
+	5 4 3 2 + ×	- +	優先級與-相同，入棧
1	5 4 3 2 + × 1	- +	數字
到達最左端	5 4 3 2 + × 1 + -	空	S1中剩餘的運算符

所以結果爲「- + 1 × + 2 3 4 5」。

後綴表達式（後綴記法、逆波蘭式）
後綴表達式與前綴表達式相似，只是運算符位於操做數以後。

後綴表達式的計算機求值：
與前綴表達式相似，只是順序是從左至右：
從左至右掃描表達式，遇到數字時，將數字壓入堆棧，遇到運算符時，彈出棧頂的兩個數，用運算符對它們作相應的計算（次頂元素 op 棧頂元素），並將結果入棧；重複上述過程直到表達式最右端，最後運算得出的值即爲表達式的結果。
例如後綴表達式「3 4 + 5 × 6 -」：
(1) 從左至右掃描，將3和4壓入堆棧；
(2) 遇到+運算符，所以彈出4和3（4爲棧頂元素，3爲次頂元素，注意與前綴表達式作比較），計算出3+4的值，得7，再將7入棧；
(3) 將5入棧；
(4) 接下來是×運算符，所以彈出5和7，計算出7×5=35，將35入棧；
(5) 將6入棧；
(6) 最後是-運算符，計算出35-6的值，即29，由此得出最終結果。

將中綴表達式轉換爲後綴表達式：
與轉換爲前綴表達式類似，遵循如下步驟：
(1) 初始化兩個棧：運算符棧S1和儲存中間結果的棧S2；
(2) 從左至右掃描中綴表達式；
(3) 遇到操做數時，將其壓入S2；
(4) 遇到運算符時，比較其與S1棧頂運算符的優先級：
(4-1) 若是S1爲空，或棧頂運算符爲左括號「(」，則直接將此運算符入棧；
(4-2) 不然，若優先級比棧頂運算符的高，也將運算符壓入S1（注意轉換爲前綴表達式時是優先級較高或相同，而這裏則不包括相同的狀況）；
(4-3) 不然，將S1棧頂的運算符彈出並壓入到S2中，再次轉到(4-1)與S1中新的棧頂運算符相比較；
(5) 遇到括號時：
(5-1) 若是是左括號「(」，則直接壓入S1；
(5-2) 若是是右括號「)」，則依次彈出S1棧頂的運算符，並壓入S2，直到遇到左括號爲止，此時將這一對括號丟棄；
(6) 重複步驟(2)至(5)，直到表達式的最右邊；
(7) 將S1中剩餘的運算符依次彈出並壓入S2；
(8) 依次彈出S2中的元素並輸出，結果的逆序即爲中綴表達式對應的後綴表達式（轉換爲前綴表達式時不用逆序）。

例如，將中綴表達式「1+((2+3)×4)-5」轉換爲後綴表達式的過程以下：

掃描到的元素	S2(棧底->棧頂)	S1 (棧底->棧頂)	說明
1	1	空	數字，直接入棧
+	1	+	S1爲空，運算符直接入棧
(	1	+ (	左括號，直接入棧
(	1	+ ( (	同上
2	1 2	+ ( (	數字
+	1 2	+ ( ( +	S1棧頂爲左括號，運算符直接入棧
3	1 2 3	+ ( ( +	數字
)	1 2 3 +	+ (	右括號，彈出運算符直至遇到左括號
×	1 2 3 +	+ ( ×	S1棧頂爲左括號，運算符直接入棧
4	1 2 3 + 4	+ ( ×	數字
)	1 2 3 + 4 ×	+	右括號，彈出運算符直至遇到左括號
-	1 2 3 + 4 × +	-	-與+優先級相同，所以彈出+，再壓入-
5	1 2 3 + 4 × + 5	-	數字
到達最右端	1 2 3 + 4 × + 5 -	空	S1中剩餘的運算符

所以結果爲「1 2 3 + 4 × + 5 -」（注意須要逆序輸出）。

編寫Java程序將一箇中綴表達式轉換爲前綴表達式和後綴表達式，並計算表達式的值。其中的toPolishNotation()方法將中綴表達式轉換爲前綴表達式（波蘭式）、toReversePolishNotation()方法則用於將中綴表達式轉換爲後綴表達式（逆波蘭式）：

注：
(1) 程序很長且註釋比較少，但若是將上面的理論內容弄懂以後再將程序編譯並運行起來，仍是比較容易理解的。有耐心的話能夠研究一下。(2) 此程序是筆者爲了說明上述概念而編寫，僅作了簡單的測試，不保證其中沒有Bug，所以不要將其用於除研究以外的其餘場合。

 

package qmk.simple_test;
import java.util.Scanner;
import java.util.Stack;
/**
 * Example of converting an infix-expression to
 * Polish Notation (PN) or Reverse Polish Notation (RPN).
 * Written in 2011-8-25
 * @author QiaoMingkui
 */
public class Calculator {
      public static final String USAGE = "== usage ==\n"
            + "input the expressions, and then the program "
            + "will calculate them and show the result.\n"
            + "input 'bye' to exit.\n";
      /**
       * @param args
       */
      public static void main(String[] args) {
            System.out.println(USAGE);
            Scanner scanner = new Scanner(System.in);
            String input = "";
            final String CLOSE_MARK = "bye";
            System.out.println("input an expression:");
            input = scanner.nextLine();
            while (input.length() != 0
                  && !CLOSE_MARK.equals((input))) {
                  System.out.print("Polish Notation (PN):");
                  try {
                        toPolishNotation(input);
                  } catch (NumberFormatException e) {
                        System.out.println("\ninput error, not a number.");
                  } catch (IllegalArgumentException e) {
                        System.out.println("\ninput error:" + e.getMessage());
                  } catch (Exception e) {
                        System.out.println("\ninput error, invalid expression.");
                  }
                  System.out.print("Reverse Polish Notation (RPN):");
                  try {
                        toReversePolishNotation(input);
                  } catch (NumberFormatException e) {
                        System.out.println("\ninput error, not a number.");
                  } catch (IllegalArgumentException e) {
                        System.out.println("\ninput error:" + e.getMessage());
                  } catch (Exception e) {
                        System.out.println("\ninput error, invalid expression.");
                  }
                  System.out.println("input a new expression:");
                  input = scanner.nextLine();
            }
            System.out.println("program exits");
      }
      /**
       * parse the expression , and calculate it.
       * @param input
       * @throws IllegalArgumentException
       * @throws NumberFormatException
       */
      private static void toPolishNotation(String input)
                  throws IllegalArgumentException, NumberFormatException {
            int len = input.length();
            char c, tempChar;
            Stack<Character> s1 = new Stack<Character>();
            Stack<Double> s2 = new Stack<Double>();
            Stack<Object> expression = new Stack<Object>();
            double number;
            int lastIndex = -1;
            for (int i=len-1; i>=0; --i) {
                  c = input.charAt(i);
                  if (Character.isDigit(c)) {
                        lastIndex = readDoubleReverse(input, i);
                        number = Double.parseDouble(input.substring(lastIndex, i+1));
                        s2.push(number);
                        i = lastIndex;
                        if ((int) number == number)
                              expression.push((int) number);
                        else
                              expression.push(number);
                  } else if (isOperator(c)) {
                        while (!s1.isEmpty()
                                    && s1.peek() != ')'
                                    && priorityCompare(c, s1.peek()) < 0) {
                              expression.push(s1.peek());
                              s2.push(calc(s2.pop(), s2.pop(), s1.pop()));
                        }
                        s1.push(c);
                  } else if (c == ')') {
                        s1.push(c);
                  } else if (c == '(') {
                        while ((tempChar=s1.pop()) != ')') {
                              expression.push(tempChar);
                              s2.push(calc(s2.pop(), s2.pop(), tempChar));
                              if (s1.isEmpty()) {
                                    throw new IllegalArgumentException(
                                          "bracket dosen't match, missing right bracket ')'.");
                              }
                        }
                  } else if (c == ' ') {
                        // ignore
                  } else {
                        throw new IllegalArgumentException(
                                    "wrong character '" + c + "'");
                  }
            }
            while (!s1.isEmpty()) {
                  tempChar = s1.pop();
                  expression.push(tempChar);
                  s2.push(calc(s2.pop(), s2.pop(), tempChar));
            }
            while (!expression.isEmpty()) {
                  System.out.print(expression.pop() + " ");
            }
            double result = s2.pop();
            if (!s2.isEmpty())
                  throw new IllegalArgumentException("input is a wrong expression.");
            System.out.println();
            if ((int) result == result)
                  System.out.println("the result is " + (int) result);
            else
                  System.out.println("the result is " + result);
      }
      /**
       * parse the expression, and calculate it.
       * @param input
       * @throws IllegalArgumentException
       * @throws NumberFormatException
       */
      private static void toReversePolishNotation(String input)
                  throws IllegalArgumentException, NumberFormatException {
            int len = input.length();
            char c, tempChar;
            Stack<Character> s1 = new Stack<Character>();
            Stack<Double> s2 = new Stack<Double>();
            double number;
            int lastIndex = -1;
            for (int i=0; i<len; ++i) {
                  c = input.charAt(i);
                  if (Character.isDigit(c) || c == '.') {
                        lastIndex = readDouble(input, i);
                        number = Double.parseDouble(input.substring(i, lastIndex));
                        s2.push(number);
                        i = lastIndex - 1;
                        if ((int) number == number)
                              System.out.print((int) number + " ");
                        else
                              System.out.print(number + " ");
                  } else if (isOperator(c)) {
                        while (!s1.isEmpty()
                                    && s1.peek() != '('
                                    && priorityCompare(c, s1.peek()) <= 0) {
                              System.out.print(s1.peek() + " ");
                              double num1 = s2.pop();
                              double num2 = s2.pop();
                              s2.push(calc(num2, num1, s1.pop()));
                        }
                        s1.push(c);
                  } else if (c == '(') {
                        s1.push(c);
                  } else if (c == ')') {
                        while ((tempChar=s1.pop()) != '(') {
                              System.out.print(tempChar + " ");
                              double num1 = s2.pop();
                              double num2 = s2.pop();
                              s2.push(calc(num2, num1, tempChar));
                              if (s1.isEmpty()) {
                                    throw new IllegalArgumentException(
                                          "bracket dosen't match, missing left bracket '('.");
                              }
                        }
                  } else if (c == ' ') {
                        // ignore
                  } else {
                        throw new IllegalArgumentException(
                                    "wrong character '" + c + "'");
                  }
            }
            while (!s1.isEmpty()) {
                  tempChar = s1.pop();
                  System.out.print(tempChar + " ");
                  double num1 = s2.pop();
                  double num2 = s2.pop();
                  s2.push(calc(num2, num1, tempChar));
            }
            double result = s2.pop();
            if (!s2.isEmpty())
                  throw new IllegalArgumentException("input is a wrong expression.");
            System.out.println();
            if ((int) result == result)
                  System.out.println("the result is " + (int) result);
            else
                  System.out.println("the result is " + result);
      }
      /**
       * calculate the two number with the operation.
       * @param num1
       * @param num2
       * @param op
       * @return
       * @throws IllegalArgumentException
       */
      private static double calc(double num1, double num2, char op)
                  throws IllegalArgumentException {
            switch (op) {
            case '+':
                  return num1 + num2;
            case '-':
                  return num1 - num2;
            case '*':
                  return num1 * num2;
            case '/':
                  if (num2 == 0) throw new IllegalArgumentException("divisor can't be 0.");
                  return num1 / num2;
            default:
                  return 0; // will never catch up here
            }
      }
      /**
       * compare the two operations' priority.
       * @param c
       * @param peek
       * @return
       */
      private static int priorityCompare(char op1, char op2) {
            switch (op1) {
            case '+': case '-':
                  return (op2 == '*' || op2 == '/' ? -1 : 0);
            case '*': case '/':
                  return (op2 == '+' || op2 == '-' ? 1 : 0);
            }
            return 1;
      }
      /**
       * read the next number (reverse)
       * @param input
       * @param start
       * @return
       * @throws IllegalArgumentException
       */
      private static int readDoubleReverse(String input, int start)
                  throws IllegalArgumentException {
            int dotIndex = -1;
            char c;
            for (int i=start; i>=0; --i) {
                  c = input.charAt(i);
                  if (c == '.') {
                        if (dotIndex != -1)
                              throw new IllegalArgumentException(
                                    "there have more than 1 dots in the number.");
                        else
                              dotIndex = i;
                  } else if (!Character.isDigit(c)) {
                        return i + 1;
                  } else if (i == 0) {
                        return 0;
                  }
            }
            throw new IllegalArgumentException("not a number.");
      }

      /**
       * read the next number
       * @param input
       * @param start
       * @return
       * @throws IllegalArgumentException
       */
      private static int readDouble(String input, int start)
      throws IllegalArgumentException {
            int len = input.length();
            int dotIndex = -1;
            char c;
            for (int i=start; i<len; ++i) {
                  c = input.charAt(i);
                  if (c == '.') {
                        if (dotIndex != -1)
                              throw new IllegalArgumentException(
                              "there have more than 1 dots in the number.");
                        else if (i == len - 1)
                              throw new IllegalArgumentException(
                              "not a number, dot can't be the last part of a number.");
                        else
                              dotIndex = i;
                  } else if (!Character.isDigit(c)) {
                        if (dotIndex == -1 || i - dotIndex > 1)
                              return i;
                        else
                              throw new IllegalArgumentException(
                              "not a number, dot can't be the last part of a number.");
                  } else if (i == len - 1) {
                        return len;
                  }
            }

            throw new IllegalArgumentException("not a number.");
      }
      /**
       * return true if the character is an operator.
       * @param c
       * @return
       */
      private static boolean isOperator(char c) {
            return (c=='+' || c=='-' || c=='*' || c=='/');
      }
}

 

下面是程序運行結果（綠色爲用戶輸入）：

== usage ==

input the expressions, and then the program will calculate them and show the result.

input 'bye' to exit.

 

input an expression:

3.8+5.3

Polish Notation (PN):+ 3.8 5.3

the result is 9.1

Reverse Polish Notation (RPN):3.8 5.3 +

the result is 9.1

input a new expression:

5*(9.1+3.2)/(1-5+4.88)

Polish Notation (PN):/ * 5 + 9.1 3.2 + - 1 5 4.88

the result is 69.88636363636364

Reverse Polish Notation (RPN):5 9.1 3.2 + * 1 5 - 4.88 + /

the result is 69.88636363636364

input a new expression:

1+((2+3)*4)-5

Polish Notation (PN):- + 1 * + 2 3 4 5

the result is 16

Reverse Polish Notation (RPN):1 2 3 + 4 * + 5 -

the result is 16

input a new expression:

bye

program exits