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前言
快速冪是什麼？web
顧名思義，快速冪就是快速算底數的n次冪。算法
有多快？微信
其時間複雜度爲 O(log₂n)， 與樸素的O(n)相比效率有了極大的提升。app
用的多麼？ide
快速冪屬於數論的範疇，本是ACM經典算法，但如今各廠對算法的要求愈來愈高，而且快速冪適用場景也比較多而且相比樸素方法有了很是大的提升。因此掌握快速冪算法已是一名更合格的工程師必備要求！優化
下面來詳細看看快速冪算法吧！ui
快速冪介紹
先看個問題再說：spa
初探
首先問你一個問題，若是讓你求 (2^10)%1000你可能會這樣寫：.net
int va=1;
for(int i=0;i<10;i++)
{
va*=2;
}
System.out.println(va%10000);
熟悉的1024沒問題，總共計算了10次。可是若是讓你算 (2^50)%10000呢？
你可能會竊喜，小樣，這就想難住我？我知道int只有32位，50位超出範圍會帶來數值越界的異常，我此次能夠用long，long有64位呢！
long va=1;
for(int i=0;i<50;i++)
{
va*=2;
}
System.out.println(va);
System.out.println(va%10000);
計算50次出告終果正當你暗暗私喜的時候又來了一個要命的問題：讓你算 (2^1e10)%10000 且不准你用Java大數類，你爲此苦惱不知所措。這時bigsai小哥哥讓你百度下取模運算，而後你恍然大悟，在紙上寫了幾個公式：
(a + b) % p = (a % p + b % p) % p （1）
(a - b) % p = (a % p - b % p ) % p （2）
(a * b) % p = (a % p * b % p) % p （3）
a ^ b % p = ((a % p)^b) % p （4）
你還算聰明一眼發現其中的規律：
(a * b) % p = (a % p * b % p) % p (3)
(2*2*2···*2) %1e10=[2*(2*2···*2)]%1e5=(2%1e5)*(2*2···*2%le5)%1e5
憑藉這個遞推你明白：每次相乘都取模。機智的你pia pia寫下如下代碼，卻發現另外一個問題：怎麼跑不出來？
我們打工人須要對計算機運行速度和數值有一個大體的概念。循環體中不一樣操做佔用時間不一樣，因此當你的程序循環次數到達1e6或1e7的時候就須要很是很是當心了。若是循環體邏輯或者運算較多可能很是很是慢。
快速冪探索
機智的你不甘失敗，開始研究其數的規律，將這個公式寫在手上、膀子上、小紙條上。吃飯睡覺都在看：
而後你忽然發現其中的奧祕，n次冪能夠拆分紅一個平方計算後就剩餘n/2的次冪了：
如今你已經明白了快速冪是怎麼回事，但你可能有點上頭，仍是給我講了不少內容：
快速冪實現
至於快速冪已經懂了，咱們該怎麼實現這個算法呢？
說的不錯，確實有遞歸和非遞歸的實現方式，可是遞歸使用的更多一些。在實現的時候，注意一下奇偶性、中止條件就能夠了，奇數問題能夠轉換爲偶數問題：
2*2*2*2*2=2 * (2*2*2*2) 奇數問題能夠轉化爲偶數問題。
這裏，遞歸的解法以下：
long c=10000007;
public long divide(long a, long b) {
if (b == 0)
return 1;
else if (b % 2 == 0) //偶數狀況
return divide((a % c) * (a % c), b / 2) % c;
else//奇數狀況
return a % c * divide((a % c) * (a % c), (b - 1) / 2) % c;
}
非遞歸實現也不難，控制好循環條件便可：
//求 a^b%1000000007
long c = 1000000007;
public long divide(long a, long b) {
a %= c;
long res = 1;
for (; b != 0; b /= 2) {
if (b % 2 == 1)
res = (res * a) % c;
a = (a * a) % c;
}
return res;
}
對於非遞歸你可能有點模糊爲啥偶數狀況不給res賦值。這裏有兩點：
爲奇數的狀況res僅僅是收集相乘那個時候落單的a
最終b均會降到1，a最終都會和res相乘，不用擔憂會漏掉
理想狀態一直是偶數狀況，那最後直接得到a取模的值便可。
若是仍是不懂，能夠用這個圖來解釋一下：
矩陣快速冪
你覺得這就結束了？雖然快速冪主要內容就是以上內容，可是總有不少牛人可以發現頗有趣的規律—矩陣快速冪。若是你沒聽過的話建議仔細看看了解一下。
你們都知道斐波那契數列：的規則：
前幾個斐波那契的數列爲：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …
斐波那契從遞推式就能夠看出是指數級別的增加，因此稍微多幾個數字就是爆炸式增加，因此不少時候也會要求最後幾位的結果。有了前面模運算公式溢出就不成問題，但n若是很是很是大怎麼快速計算就成了一個新的問題。
咱們看下面一組公式：
f(n+1) = f(n) + f(n-1)
f(n) = f(n)
若是將f(n)和f(n-1)放到一個矩陣中(一行兩列)：[f(n+1),f(n)] 可否找到和[f(n),f(n-1)]之間的什麼規律呢？
答案是存在規律的，看上面的公式知道
[f(n+1),f(n)]
=[f(n)+f(n-1),f(n)]
[1 1]
=[f(n),f(n-1)] *
[1 0]
[1 1] [1 1]
=[f(n-1),f(n-2)]* *
[1 0] [1 1]
=·······
因此如今你能夠知道它的規律了吧，這樣一直迭代到f(2),f(1)恰好都爲1，因此這個斐波那契的計算爲：
而這個矩陣有不少次冪，就可使用快速冪啦，原理一致，你只須要寫一個矩陣乘法就能夠啦,下面提供一個矩陣快速冪求斐波那契第n項的後三位數的模板，能夠拿這個去試一試poj3070的題目啦。
public int Fibonacci(int n)
{
n--;//矩陣爲兩項
int a[][]= {{1,1},{1,0}};//進行快速冪的矩陣
int b[][]={{1,0},{0,1}};//存儲漏單奇數、結果的矩陣，初始爲單位矩陣
int time=0;
while(n>0)
{
if(n%2==1)
{
b=matrixMultiplication(a, b);
}
a=matrixMultiplication(a, a);
n/=2;
}
return b[0][0];
}
public int [][]matrixMultiplication(int a[][],int b[][]){//
int x=a.length;//a[0].length=b.length 爲知足條件
int y=b[0].length;//肯定每一排有幾個
int c[][]=new int [x][y];
for(int i=0;i<x;i++)
for(int j=0;j<y;j++)
{
//須要肯定每個元素
//c[i][j];
for(int t=0;t<b.length;t++)
{
c[i][j]+=(a[i][t]%10000)*(b[t][j]%10000);
c[i][j]%=10000;
}
}
return c;
}
結語
這篇到這裏就肝完啦，其實快速冪的內容還不止這麼多，尤爲是矩陣快速冪，會有着各類巧妙的變形，不過跟數學有一些關係，這年頭，不會點算法、不會點數學真的是舉步維艱。因此你們要對本篇內容好好吸取，讓我那麼久的努力發揮出做用。
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