經常使用的位運算技巧

經常使用的位運算技巧

位運算是不少算法優化的基礎和實現的條件，極其重要。理解位運算對於一些算法及其優化有着很是重要的意義。本篇隨筆講解位運算的一些基本原理和經常使用的使用技巧。

注：本篇隨筆的全部「運算」均指二進制下的運算，請你們自行理解。

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一、與(&)運算

(1)運算法則

兩個二進制數進行與&運算，若是對應位都爲1則結果爲1，不然爲0.

(2)技巧及用途

與運算經常用於二進制下的取位操做。想要知道二進制下的某位是不是1，就&上這個位數對應的十進制數。假如返回的是這個十進制數自己，則這個位的確是1，反之就是0.

好比：

咱們要取第三位是否爲1，咱們只須要與&上第三位（二進制表示爲100）對應的二進制數4，若是返回值爲4，就表明第三位爲1，反之就是0.

最經常使用的是取二進制下的最末位，即a&1。這樣的技巧能夠用於判斷奇偶，根據二進制常識，尾數爲1則爲奇數，反之爲偶數。

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二、或(|)運算

(1)運算法則

兩個二進制數進行或|運算，若是對應位有一個爲1，結果就爲1.只有在兩個數的對應位置都是0的時候，結果才爲0.

(2)技巧及用途

或運算經常使用於二進制特定位的賦值。想把哪一個位強行變成1，就用這個數|上這個位數對應的二進制數。

仍是上面那個例子，咱們想讓00000的第三位變成1.即十進制變4，咱們直接|上4就能夠。

固然，不一樣於&運算，咱們不多用|運算進行任意位賦值。一般來說，咱們只使用a|1把a的最後一位強行變成1，其實質意義是把原數加一。或者使用a|1-1再把它變爲0.這個技巧一般用於把它變成它最接近的偶數。

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三、異或(^)(xor)運算

(1)運算法則

兩個二進制數進行異或(^)運算，若是對應位相同，不論是0或者是1，都返回1，反之返回0.

(2)技巧及用途

其實沒啥用途...

好吧，我介紹一個性質：一個數通過兩次異或以後等於原數。

（很好理解）

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四、非(~)運算

(1)運算法則

把給定二進制數所有取反。

(2)技巧及用途

其實沒什麼運算上的用途，本蒟蒻曾看見一些大佬用這個運算判斷輸入是否爲0...

大約長這個樣子：

while(~scanf("%d",&n))

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五、左移(<<)運算

(1)運算法則

a<<b表示把a的二進制位向左移動b位，低位用0補上。

(2)技巧及用途

根據二進制的常識，咱們會發現，二進制第k位上的數就等於\(2^k\)。（從0開始計位）

好比，二進制下的100就是\(2^{k=2}=4\)。

因此咱們發現，左移運算a<<b的實質就是\(a×2^b\)。

左移運算最經常使用的技巧就是用來代替×2的整數次冪的乘法運算。由於咱們廣泛認爲，位運算是要比四則運算加減乘除及模運算更快一些的運算。

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六、右移(>>)運算

(1)運算法則

a>>b就是把a的二進制位向右移動b位，溢出的捨去。

(2)技巧及用途

類比於左移運算，咱們發現右移運算就是把a除以2的整數次冪。這就是右移運算的用途——優化除法運算。

這裏須要特殊說明的是，右移算法能夠用在數學知識中的求最大公約數的程序塊上。由於mod運算的效率慢的出奇，因此咱們能夠用右移運算來進行除以2的操做。聽說能夠提升百分之60的效率。

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七、位運算優先級

位運算的優先級是咱們在處理位運算的時候經常要考慮的問題，誠然，咱們能夠用括號強制位運算的順序，可是，咱們仍是應該學會位運算的優先級（這應該是常識）。

位運算的優先級以下：

按位反（~）>位移運算（<<,>>）>按位與（&）>按位異或（^）>按位或（|）

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附：位運算在狀壓DP的用法

衆所周知，狀壓DP就是把狀態壓縮成一個01串（其實就是一個二進制數），用以減小DP數組的維數。可是咱們在DP的時候就要按照01串來進行狀態的轉移。因此位運算是狀壓DP的基礎知識和必備知識。因此我在本篇隨筆的末尾還附上了狀壓DP中比較經常使用的操做及其二進制實現的方式。

正文：（本文中的a表示十進制下的整數）

一、得到第i位的數字：(a>>i)&1 或者 a&(1<<i)

很好理解，咱們知道能夠用&1來提取最後一位的數，那麼咱們如今要提取第i位數，就直接把第i位數變成最後一位便可（直接右移）。或者，咱們能夠直接&上1左移i位，也能達到咱們的目的。

二、設置第i位爲1：a=a|(1<<i)

咱們知道強制賦值用|運算，因此就直接強制|上第i位便可。

三、設置第i位爲0：a=a&(~(1<<i))

這裏比較難以理解。其實很簡單，咱們知道非~運算是按位取反，(1<<i)非一下就變成了第i爲是0，其它全是1的二進制串。這樣再一與原數進行&運算，原數的第i位不管是什麼都會變成0，而其餘位不會改變（實在不明白的能夠用紙筆進行推演）。

四、把第i位取反：a=a^(1<<i)

1左移i位以後再進行異或，咱們就會發現，若是原數第i位是0，一異或就變成1，不然變成0。

五、取出一個數的最後一個1：a&(-a)

學過樹狀數組的同窗會發現，這就是樹狀數組的lowbit。事實上，這和樹狀數組的原理是同樣的。我想，不須要我多解釋。