我的人工智能之旅——線性代數基礎

時間 2021-01-11 標籤機器學習人工智能數學基礎

1.矩陣

矩陣，matrix，爲m行n列的數據陣列。例如下例，爲4x3階矩陣。

mxn階矩陣的m=n時，稱爲方陣，n階方陣。

單位矩陣，是指對角線數據爲1，其它數據爲0的n階方陣。

逆矩陣，matrix inverse。只有方陣纔有逆矩陣。n階矩陣A的逆矩陣，必須滿足以下條件

其中I爲n階單位矩陣。

不是所有的矩陣都有逆矩陣。對於沒有逆矩陣的矩陣，我們稱之爲奇異矩陣（singular matrix），或退化矩陣（degenerate matrix）。

最簡單的零矩陣，就是最好的例子。下例爲4階零矩陣。

mxn階矩陣A的轉置矩陣爲nxm階矩陣B，則B中的元素需要滿足以下條件

矩陣A的轉置矩陣表示爲

例如，

向量，vector，可以看作nx1階矩陣，矩陣的每一列都可以看作是一個向量。若一個向量有n行，則稱爲n維向量。例如下例，爲3維向量。

只有相同維度的矩陣才能相加/減，結果爲，對應元素加減結果所組成的矩陣。如下例

矩陣與實數的乘除運算，較爲簡單。結果爲，對應元素乘除結果所組成的矩陣。如下例

矩陣與向量的乘法，可以看作是簡單的矩陣間的乘法。但乘法雙方必須滿足一定的條件。即前者的列數，必須等於後者的行數。即必須爲axb階矩陣和bxc階矩陣的運算，運算結果爲axc階矩陣。因此，axb階矩陣與b維向量的乘法運算結果爲，a維向量。

例如，2x3階矩陣A與3維向量B的乘法。結果爲2維向量C。若i爲C的行數，則

有了矩陣與向量的乘法做基礎，矩陣與矩陣的乘法就相對容易理解了。

例如，2x3階矩陣A，乘以3x4階矩陣B，結果爲2x4階矩陣C。

可以將矩陣B轉換爲4個3維向量Bi組合，而結果C可以看作4個2維向量Ci的組合，i=1 to 4（i即爲列號）。

在實數運算中，交換律是指，

AXB=BXA

但矩陣乘法不遵循交換律。理由很簡單，比如4X3階矩陣A，乘以3X4階矩陣B，結果C爲4X4階矩陣。

而3X4階矩陣B，乘以4X3階矩陣A，結果C爲3X3階矩陣。因此，對於矩陣來說，不遵循交換律，即

AXB<>BXA

那麼nXn階矩陣的乘法呢，同樣不遵循。例如，

當然，交換律，在方陣且相乘雙方中一者爲單位矩陣的情況下，成立。

在實數運算中，結合律是指

AXBXC=(AXB)XC=AX(BXC)

矩陣乘法，同樣也遵循結合律。