[動態規劃系列] —— 揹包DP之01揹包

01揹包問題

有n個物品，1個容量v的揹包，第i個物品體積是volume[i]，價值是value[i]，問將哪些物品裝入揹包，可以使這些物品的整體積不超過揹包容量，且總價值最大，每一個物品只能使用1次。

考慮中間狀態，有i個物品，有j個容量，該狀態的最高價值爲status[i][j]。該狀態能夠由其上一個狀態轉移得到，對於第i個物品，咱們能夠將其丟棄或放入揹包，取二者最大值。

丟棄：status[i][j] = status[i-1][j]

放入：status[i][j] = value[i] + status[i-1][j-volume[i]]

這裏的（i，j）狀態，是第i個物品已經作出選擇的結果，他須要上一個狀態即選擇第i-1個物品後的結果轉移而來。j - volume[i]能夠理解爲，選擇物品i後的容量是j，那麼未選擇以前爲j - volume[i]。

def solution(n, v, volume, value):
    status = [[0]*(v+1) for _ in range(n+1)]
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(1, v+1):
            if j - volume[i-1] >= 0:
                status[i][j] = max(status[i-1][j], value[i-1] + status[i-1][j-volume[i-1]])
            else: status[i][j] = status[i-1][j]
    return status[n][v]

對於矩陣status，其狀態只在i-1和i兩行之間轉移，咱們能夠使用滾動數組也就是隻用兩行來不斷地更新，維護上一步和當前步的狀態，以達到下降空間複雜度的目的。

這裏使用狀態壓縮，只用一行來記錄狀態，將二維DP降到一維DP。將上面的代碼稍做改動，能夠獲得下面的錯誤代碼，這裏只是單純的把i狀態刪掉了。雖然是錯誤的代碼，但咱們須要它來輔助理解。

def solution(n, v, volume, value):
    status = [0]*(v+1)
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(1， v+1):
            if j - volume[i-1] >= 0:
                status[j] = max(status[j], value[i-1] + status[j-volume[i-1]])
            else: status[j] = status[j]
    return status[v]

該段代碼的問題在於，對於status[j]的計算須要依賴於status[j-volume[i]]的結果，在二維中，status[j]和status[j-volume[i]]是分別處於不一樣行的，也就是i與i-1兩行，可是在一維中，它們都在同一行。

而且j值是向右增加的，也就是說在計算status[j]時，status[j-volume[i]]的值早已被更新爲第i行的狀態了，而不是上一步的狀態。因此咱們須要讓j值向左增加。獲得以下代碼。

def solution(n, v, volume, value):
    status = [0]*(v+1)
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(v, 0, -1):
            if j - volume[i-1] >= 0:
                status[j] = max(status[j], value[i-1] + status[j-volume[i-1]])
            else: status[j] = status[j]
    return status[v]

這段代碼已是正確的了，可是還不夠完美，觀察後不難發現status[j] = status[j]這一步是徹底沒有必要存在的，所以咱們能夠控制j的最小值，保證j - volume[i-1] >= 0成立。獲得最終代碼以下。

def solution(n, v, volume, value):
    status = [0]*(v+1)
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(v, volume[i-1]-1, -1):
            status[j] = max(status[j], value[i-1] + status[j-volume[i-1]])
    return status[v]

之因此該問題被稱做01揹包，其緣由在於對於每同樣物品只能使用一次。在咱們遇到的題目中，每每是01揹包問題的變體，咱們須要學會如何將題目轉換爲經典的01揹包問題。

相關題目：分割等和子集、一和零、最後一塊石頭的重量 II。