動態規劃—揹包問題（01揹包、徹底揹包、多重揹包）

01揹包問題

有N件物品和一個容量爲C的揹包。第i件物品的費用是w[i]，價值是v[i]。求解將哪些物品裝入揹包可以使這些物品的費用總和不超過揹包容量，且價值總和最大。

 

w[i] 表示物品i的重量

v[i] 表示物品i的價值

C 表示揹包的容量

dp[i][c]表示前i件物品恰放入一個容量爲c的揹包能夠得到的最大價值

 

狀態轉移方程：

二維： dp[i][c] = max(dp[i-1][c],dp[i-1][c-w[i]]+v[i])

一維： dp[c] = max(dp[c],dp[c-w[i]]+v[i])  //max裏的dp[c]和dp[c-w[i]]保存的是狀態dp[i-1][c]和狀態dp[i-1][c-w[i]]的值

 

01揹包 降維代碼：

memset(dp,0,sizeof(dp));   //init

for(int i=1; i<=n; i++)

        for(int c=C; c>=w[i]; c--)  //注意,c要由C倒推到w[i],c<w[i]時,dp[c] = dp[c]; 因此不用寫了...

               dp[c] = max(dp[c],dp[c-w[i]]+v[i]);     //c要倒推才能保證在推dp[c]時,max裏的dp[c]和dp[c-w[i]]保存的是狀態dp[i-1][c]和狀態dp[i-1][c-w[i]]的值

 

 

徹底揹包問題

有N種物品和一個容量爲C的揹包，每種物品都有無限件可用。第i種物品的費用是w[i]，價值是v[i]。求解將哪些物品裝入揹包可以使這些物品的費用總和不超過揹包容量，且價值總和最大

 

狀態轉移方程:

二維： dp[i][c] = max(dp[i-1][c],dp[i][c-w[i]]+v[i])

一維： dp[c] = max(dp[c],dp[c-w[i]]+v[i])  //max裏的dp[c]和dp[c-w[i]]保存的是狀態dp[i-1][c]和狀態dp[i][c-w[i]]的值

 

徹底揹包 降維代碼：

memset(dp,0,sizeof(dp));   //init

for(int i=1; i<=n; i++)

        for(int c=w[i]; c<=C; c--)   //注意,c要正推

               dp[c] = max(dp[c],dp[c-w[i]]+v[i]);     //c要正推才能保證在推dp[c]時,max裏的dp[c]和dp[c-w[i]]保存的是狀態dp[i-1][c]和狀態dp[i][c-w[i]]的值

 

多重揹包問題

有N種物品和一個容量爲C的揹包，每種物品的數量有限，第i種物品的費用是w[i]，價值是v[i]，數量爲n[i]。

可將該問題轉化爲01揹包和徹底揹包問題：

若是w[i]*n[i] > C, 按照徹底揹包問題進行求解；

若是w[i]*n[i] < C, 按照01揹包問題進行求解。