堆詳解

徹底二叉樹

在二叉樹中每一層要麼是滿的，要麼是從左到右依次變滿。

堆

而堆就是一棵徹底二叉樹。除了有徹底二叉樹的特性外，對於堆，任何一個節點爲頭的子樹最大值(或者最小值)爲頭節點本身。

9
   / \
  3   6
 / \
1   2 
複製代碼

以上就是一個大根堆

實現

用數組結構實現。好比對於堆存儲的數組中是 [9,3,6,1,2]，對於任意 i 位置來講，左孩子是2*i+1，右孩子是2*i+2,父節點是 (i-1)/2。

基本操做

對於堆來講，有兩個基本操做heapInsert(往堆中插入元素)、heapify(調整堆的位置)。所以掌握這兩個操做是重點。

場景: 好比對於堆 [5, 1, 4, 0,], insert 3 後。這就不是大根堆了，所以須要調整。

5
   / \
  1   4
 / \
0   3
複製代碼

heapInsert

一、定義變量 heapSize, 這個變量有兩個做用 一、表示堆大小 二、堆插入時下一個數的位置。
二、對於新插入的位置 i，計算 i 的父親 p = (i-1)/2，若是 arr[i] > arr[p], 交換 i、p 位置，把p的位置賦值給 i。
三、循環執行2,直到 p === 0 或者 arr[i] <= arr[p] 跳出循環

如下代碼能夠知足 p === 0 或者 arr[i] <= arr[p] 跳出循環的邏輯
while(arr[index] > arr[parseInt((index - 1)/2)]) {}

複製代碼

heapInsert代碼

heapify

場景: 好比對於堆 [5, 4, 1, 0, 3],彈出堆頂元素 5 ,把剩餘的元素繼續調整堆結構。

5
   / \
  4   1
 / \
0   3
複製代碼

僞代碼:

一、把堆頂元素記錄下來，以備之後返回，而後把堆中最後一個元素覆蓋堆頂，heapSize--。
二、i 和 i 左、右孩子較大一個進行比較，若是孩子大，則把 i 和左右孩子中較大一個進行交換，交換後，i 移動到較大孩子的節點。
三、循環執行2，直到 i 比左右孩子較大的那個小，或者 i > heapSize
複製代碼

heapify代碼

堆排序

堆排序就是把 heapInsert 和 heapify 結合起來的一個算法

一、先經過 heapInsert 把一個數組調整成大根堆
二、把堆頂元素和堆最後一個元素交換，而後 heapSize--。根據堆頂進行 heapify 操做。
三、重複執行2，直到 heapSize === 0,說明數組已經排好序
複製代碼

heapSort代碼

複雜度分析

時間複雜度

heapInsert是 O(logN), 也要進行 N 次，總共建堆的時間是 O(NlogN)。

heapify的最可能是調整樹的高度 O(logN)，而要進行 N 次，堆中全部元素調整完成時間複雜度是 O(NlogN)

因此 堆排序的時間複雜度是 O(NlogN)

在建堆的過程當中，時間複雜度能夠縮短成O(N)，但在 heapify 操做是不能改變的仍是 O(NlogN)。因此時間複雜度仍是 O(NlogN)

空間複雜度

排序過程當中只用到了某些變量，好比 heapSize 、lc 、rc。

所以空間複雜度是 O(1)。

大根堆

任何一個節點爲頭的子樹最大值爲頭節點本身。

大根堆代碼

小根堆

任何一個節點爲頭的子樹最小值爲頭節點本身。

小根堆代碼

如圖經過上面小根堆代碼一次彈出堆頂元素，是依次變大的。

應用堆排序的思想的題目

獲取中位數

有一個源源不斷吐出整數的數據流，假設你有足夠的空間來保存吐出的數。
請設計一個叫medianHolder函數。這個函數能夠隨時吐出這些數的中位數。
要求
一、若是MedianHolder已經保存了吐出的N個數，那麼任意時刻將一個新數加入到MedianHolder的過程，其時間複雜度是 O(logN)
二、隨時吐出整數的時間複雜度是 O(1)
複製代碼

這個數組中較大的 N/2 放在小根堆中，較小的 N/2 放到大根堆中，而且在放入的過程當中， 若是大小根堆的差值超過1，則經過彈出、加入的方式調整堆。

最後若是整個數據流吐出是奇數時，則把數據比較大的那個堆頂返回;偶數時，則返回兩個堆頂元素的平均值。

代碼

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