介紹一種二維線性插值計算方法

插值計算方法是工程實踐中常常用到的方法。當獲取的原始數據爲離散點狀數據時，就須要經過插值計算方法來獲取離散點之間的數據。經常使用的插值計算方法有線性插值、樣條插值等，可是這些插值方法一般是一維插值方法，即y=f(x)的狀況，對於二維數據即z=f(x,y)的狀況應用起來存在一些困難。

首先來簡單介紹一下最簡單的一維插值計算方法。原始數據爲一系列的散點，即（x₁,y₁）、（x₂,y₂）....（x_i,y_i），對於任意的x，求取其對應的y值。其計算過程爲，首先求取x值位於哪兩個三點之間，假如x_j≤x<x_j+1，則y=(x-x_j)×(y_j+1-y_j)/(x_j+1-x_j)+y_j。該方法能夠較準確地求取任意x值對應的y值，且該方法通常只應用於內插，當x值超出原始散點x範圍時，採用線性外插方法。

而對於二維插值卻存在必定問題。原始數據爲一系列的散點（x₁,y₁,z₁）、（x₂,y₂,z₂）....（x_i,y_i,z_i），此時對於任意的（x，y）值，要想求取其對應的z值。

一般容易想到的方法是，首先基於已知的散點數據（x₁,y₁,z₁）、（x₂,y₂,z₂）....（x_i,y_i,z_i），經過某種擬合方法得到一個適用的計算公式，即z=f（x，y），而後經過該公式來計算任意的（x，y）對應的z值。該方法可以必定程度上解決沒法獲取散點以外數據的問題。可是，該方法擬合過程引入的誤差是不可忽略的，一種檢驗的方法是，選取原始散點中的某一個點的數據（x_j,y_j,z_j）進行檢驗，將該點的數據代入計算公式z=f（x，y）得到一個值z_計算=f（x_j,y_j），對比能夠發現z_計算≠z_j，且進一步計算其相對誤差量能夠發現，相對誤差量（z_計算 -  z_j）/z_j不是一個小量，某些時候甚至可以達到30%，所以該方法很難實現有效的工程應用。

本文推薦一種二維線性插值計算方法，能夠有效避免原始數據代入計算結果不一致的問題。該方法適用的一個前提是，原始散點數據需知足必定特徵，即某些原始散點的x值需相等，且能夠基於x值將原始散點進行分組。即原始散點具有以下特徵，可進行以下分組分類：

（x1,y1,z1）	（x1,y2,z2）		（x1,ym,zm）
（x2,ym+1,zm+1）	（x2,ym+2,zm+2）	.	（x2,y2m,z2m）
		...
（xn,ynm-m+1,znm-m+1）	（xn,ynm-m+2,znm-m+2）		（xn,ynm,znm）

 對於該類型的原始散點，求取對應於（x未知,y未知）值時的Z未知值，其計算過程以下

1）首先計算x值位於哪一個區間，經過逐個比較得到xj≤x<xj+1；

2）對於x_j所在的數組，得到其對應原始散點的y、z值組成二維散點（y_jm-m+1,z_jm-m+1）、（y_jm-m+2,z_jm-m+2）...（y_jm,z_jm），在該二維散點中，經過一維線性插值計算得到當y=y_未知時，對應的z值爲_zxj，未知

3）同理，對於x_j+1所在的數組，得到其對應原始散點的y、z值組成二維散點（y_jm+1,z_jm+1）、（y_jm+2,z_jm+2）...（y_jm+m,z_jm+m），在該二維散點中，經過一維線性插值計算得到當y=y_未知時，對應的z值爲z_{xj+1，未知}

4)經過步驟(2)、(3)得到的兩個點（xj，y_未知，zx_j，未知）、（x_j+1，y_未知，z_{xj+1，未知}），與所求點（x_未知，y_未知，z_未知），三個點一定在同一條直線上，所以能夠基於（x_j，y_未知，z_xj，未知）、（x_j+1，y_未知，z_{xj+1，未知}）兩點，經過一維線性插值計算得到點（x_未知，y_未知，z_未知）的值。

以上爲所述二維線性插值計算方法的全過程。