【python】一維二維插值

一維插值

        插值不一樣於擬合。插值函數通過樣本點，擬合函數通常基於最小二乘法儘可能靠近全部樣本點穿過。常見插值方法有拉格朗日插值法、分段插值法、樣條插值法。

 

        拉格朗日插值多項式：當節點數n較大時，拉格朗日插值多項式的次數較高，可能出現不一致的收斂狀況，並且計算複雜。隨着樣點增長，高次插值會帶來偏差的震動現象稱爲龍格現象。

       分段插值：雖然收斂，但光滑性較差。

       樣條插值:樣條插值是使用一種名爲樣條的特殊分段多項式進行插值的形式。因爲樣條插值可使用低階多項式樣條實現較小的插值偏差，這樣就避免了使用高階多項式所出現的龍格現象，因此樣條插值獲得了流行。

# -*-coding:utf-8 -*-
import numpy as np
from scipy import interpolate
import pylab as pl

x = np.linspace(0, 10, 11)
# x=[  0.   1.   2.   3.   4.   5.   6.   7.   8.   9.  10.]
y = np.sin(x)
xnew = np.linspace(0, 10, 101)
pl.plot(x, y, "ro")

for kind in ["nearest", "zero", "slinear", "quadratic", "cubic"]:  # 插值方式
    # "nearest","zero"爲階梯插值
    # slinear 線性插值
    # "quadratic","cubic" 爲2階、3階B樣條曲線插值
    f = interpolate.interp1d(x, y, kind=kind)
    # ‘slinear’, ‘quadratic’ and ‘cubic’ refer to a spline interpolation of first, second or third order)
    ynew = f(xnew)
    pl.plot(xnew, ynew, label=str(kind))
pl.legend(loc="lower right")
pl.show()

結果:

 

二維插值

方法與一維數據插值相似，爲二維樣條插值。

# -*- coding: utf-8 -*-
"""
演示二維插值。
"""
import numpy as np
from scipy import interpolate
import pylab as pl
import matplotlib as mpl


def func(x, y):
    return (x + y) * np.exp(-5.0 * (x ** 2 + y ** 2))


# X-Y軸分爲15*15的網格
y, x = np.mgrid[-1:1:15j, -1:1:15j]

fvals = func(x, y)  # 計算每一個網格點上的函數值  15*15的值
print
len(fvals[0])

# 三次樣條二維插值
newfunc = interpolate.interp2d(x, y, fvals, kind='cubic')

# 計算100*100的網格上的插值
xnew = np.linspace(-1, 1, 100)  # x
ynew = np.linspace(-1, 1, 100)  # y
fnew = newfunc(xnew, ynew)  # 僅僅是y值   100*100的值

# 繪圖
# 爲了更明顯地比較插值先後的區別，使用關鍵字參數interpolation='nearest'
# 關閉imshow()內置的插值運算。
pl.subplot(121)
im1 = pl.imshow(fvals, extent=[-1, 1, -1, 1], cmap=mpl.cm.hot, interpolation='nearest', origin="lower")  # pl.cm.jet
# extent=[-1,1,-1,1]爲x,y範圍  favals爲
pl.colorbar(im1)

pl.subplot(122)
im2 = pl.imshow(fnew, extent=[-1, 1, -1, 1], cmap=mpl.cm.hot, interpolation='nearest', origin="lower")
pl.colorbar(im2)

pl.show()

左圖爲原始數據，右圖爲二維插值結果圖。

二維插值的三維展現方法

# -*- coding: utf-8 -*-
"""
演示二維插值。
"""
# -*- coding: utf-8 -*-
import numpy as np
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
import matplotlib as mpl
from scipy import interpolate
import matplotlib.cm as cm
import matplotlib.pyplot as plt


def func(x, y):
    return (x + y) * np.exp(-5.0 * (x ** 2 + y ** 2))


# X-Y軸分爲20*20的網格
x = np.linspace(-1, 1, 20)
y = np.linspace(-1, 1, 20)
x, y = np.meshgrid(x, y)  # 20*20的網格數據

fvals = func(x, y)  # 計算每一個網格點上的函數值  15*15的值

fig = plt.figure(figsize=(9, 6))
# Draw sub-graph1
ax = plt.subplot(1, 2, 1, projection='3d')
surf = ax.plot_surface(x, y, fvals, rstride=2, cstride=2, cmap=cm.coolwarm, linewidth=0.5, antialiased=True)
ax.set_xlabel('x')
ax.set_ylabel('y')
ax.set_zlabel('f(x, y)')
plt.colorbar(surf, shrink=0.5, aspect=5)  # 標註

# 二維插值
newfunc = interpolate.interp2d(x, y, fvals, kind='cubic')  # newfunc爲一個函數

# 計算100*100的網格上的插值
xnew = np.linspace(-1, 1, 100)  # x
ynew = np.linspace(-1, 1, 100)  # y
fnew = newfunc(xnew, ynew)  # 僅僅是y值   100*100的值  np.shape(fnew) is 100*100
xnew, ynew = np.meshgrid(xnew, ynew)
ax2 = plt.subplot(1, 2, 2, projection='3d')
surf2 = ax2.plot_surface(xnew, ynew, fnew, rstride=2, cstride=2, cmap=cm.coolwarm, linewidth=0.5, antialiased=True)
ax2.set_xlabel('xnew')
ax2.set_ylabel('ynew')
ax2.set_zlabel('fnew(x, y)')
plt.colorbar(surf2, shrink=0.5, aspect=5)  # 標註

plt.show()

 

        左圖的二維數據集的函數值因爲樣本較少，會顯得粗糙。而右圖對二維樣本數據進行三次樣條插值，擬合獲得更多數據點的樣本值，繪圖後圖像明顯光滑多了。

參考連接:

1.拉格朗日插值法:https://zh.wikipedia.org/wiki/拉格朗日插值法

2.樣條插值：https://zh.wikipedia.org/wiki/樣條插值