三：計算機進行小數運算時出錯的緣由

0、開篇：

（1）二進制數0.1，用十進制數表示的話是多少？

     0.5

（2）用小數點後有3位的二進制數，能表示十進制數0.625嗎？

     能夠，0.101

（3）將小數分爲符號、尾數、基數、指數4部分進行表現的形式稱爲何？

     浮點數（浮點數形式）

（4）二進制數的基數是什麼？

     2

（5）經過把0做爲數值範圍的中間值，從而在不使用符號位的狀況下來表示負數的表示方法稱爲何？

     EXCESS系統表示（EXCESS是「剩餘的」的意思。例如，把01111111看做是0的話，比這個數小1的01111110就是-1）

（6）10101100.01010011這個二進制數，用十六進制數表示的話是多少？

     AC.53

一、將0.1累加100次也得不到10

二、用二進制數表示小數

　　先來一個熱身，把1011.0011這個有小數點的二進制數轉換成十進制數（前面章節已經講過了用二進制來表示整數的方法，其實小數也同樣），以下圖所示：

　　

三、計算機運算出錯的緣由

　　 經過第2節的學習，你們應該也能大概知道計算機運算出錯的緣由了：是由於「有一些十進制數的小數沒法轉換成二進制數」。例如十進制數0.1，就沒法用二進制數正確表示，小數點後面即便有幾百位也沒法表示。

     　咱們就看小數點後4位用二進制數表示時的數值範圍0.0000~0.1111，以下圖所示：

　　

　　這裏只能表示0.5 、 0.25 、 0.125 、0.0625這四個二進制數小數點後面的位權組合而成（相加總和）的小數。再回到咱們要表示的0.1，怎麼加都沒法加到0.1的，只會變成0.00011001100...（1100的循環），不信你能夠去試試。

       說到這裏，你們應該都能明白爲何將0.1累加100次也得不到10的緣由了把，由於沒法正確表示的數值，最後都變成了近似值。計算機是一個功能有限的機器設備，是沒法處理無限循環的小數的，通常計算機都會從中間截斷。

四、什麼是浮點數

　　像1011.0011這樣帶小數點的表現形式，徹底是紙面上的二進制數表現形式，在計算機內部是沒法使用的。這一章節主要是說明計算機是以什麼樣的表現形式來處理小數。不少編程語言中都提供了兩種表示小數的數據類型，分別是雙精度浮點數與單精度浮點數。雙精度浮點數類型用64位、單精度浮點數用32位來表示全體小數。從C語言中，雙精度浮點數類型和單精度浮點數類型分別用double和float來表示。

　　浮點數是指符號、尾數、基數和指數這四個部分來表示的小數，以下圖：

　　

　　由於計算機內部使用的是二進制，因此基數天然就是2.所以，實際的數據中每每不考慮基數，只用符號、尾數、指數這三部分便可表示浮點數。也就是說，64位（雙精度浮點數）和32位（單精度浮點數）的數據，會被分爲三部分來使用，以下圖展現：

　　

 　① 符號部分：是指使用一個數據位來表示數值的符號。該數據位是1時表示負，爲0時則表示「正或者0」。

     ② 尾數部分：數值大小的決定部分之一（另一個是指數部分）。尾數部分用的是「將小數點前面的值固定爲1的正則表達式」。

     ③ 指數部分：用的則是EXCESS系統表現。

五、正則表達式和EXCESS系統

　　 ① 尾數部分使用正則表達式，能夠將表現形式多樣的浮點數統一爲一種表現形式。例如十進制的0.75就有不少種表現形式：

　　　

      正由於表現形式太多，計算機處理時就會比較麻煩。所以，爲了方便計算機處理，須要制定一個統一的規則。例如，十進制數的浮點數應該遵循「小數點前面是0，小數點後面第1位不能是0」這樣的規則。根據這個規則，0.75就是「0.75 * 10的0次冪」，也就是說，只能用尾數部分是0.7五、指數部分是0這個方法來表示。根據這個規則來表示小數的方式，就是正則表達式。

     二進制數也是一樣的道理，在二進制數中，咱們使用的是「將小數點前面的值固定爲1的正則表達式」。具體來說，就是將二進制數表示的小數左移或右移（這裏是邏輯移位。由於符號位是獨立的）數次後，正數部分的第1位變爲1，第2位以後都變爲0（這樣是爲了消除第2位以上的數位）。並且，第1位的1在實際的數據中不保存。因爲第1位必須是1，所以，省略該部分後就節省了一個數據位，從而也就能夠表示更多的數據範圍。

下圖是單精度浮點數的正則表達式的具體例子（單精度浮點數中，尾數部分是23位）：

　　

六、在實際的程序中進行確認

　　對EXCESS系統與正則表達式瞭解了嗎，若是尚未了解，就返回上一小節再看一看，我也是看了幾遍纔看懂的，若是看懂了，就往下看，用C語言程序來確認單精度浮點數表示方法。

七、如何避免計算機計算出錯　

 　 計算機計算出錯的緣由之一是採用浮點數來處理小數（另外，也有因「位溢出」而形成計算錯誤的狀況）。做爲程序的數據類型，不論是使用單精度浮點數仍是雙精度浮點數，都存在計算出錯的可能性。接下來會介紹兩種避免該問題的方法。

     ① 迴避策略，即無視這個錯誤，只要獲得近似值就能夠了，那些微小的偏差徹底能夠忽略掉。

     ② 把小數轉換成正數來計算。

八、二進制數和十六進制數　

 　 最後補充說明一下二進制數和十六進制數的關係。在實際程序中，若是二進制位數太多，看起來會比較麻煩，所以，在實際程序中，也常常會用十六進制數來代替二進制數。二進制數的4位，正好至關於十六進制數的1位。例如，32位二進制數00111101110011001100110011001101用十六進制數來表示的話，就是3DCCCCCD這個8位數。因而可知，經過使用十六進制數，二進制數的位數可以縮短至原來的1/4 。

     用十六進制數來表示二進制小數時，小數點後的二進制數的4位一樣至關於十六進制的1位。不夠4位時用0填補二進制數的低位便可。例如，1011.011的低位補0後爲1011.0110，這時就能夠表示爲十六進制數B.6 。