BZOJ Luogu 題意: 給定n,m,求$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}d(ij)$,其中$d(x)$表示x的約數個數。多組數據,n,m<=50000,T<=50000 #sol 首先咱們大膽猜測, $$d(ij)=\sum_{u|i}\sum_{v|j}[\gcd(u,v)==1]$$ (證實晚上再補。。。) 好而後咱們看,咱們已知 $$ans=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\sum_{u|i}\sum_{v|j}[\gcd(u,v)==1]$$ 顯然這四個$\sum$很很差搞,因此咱們考慮枚舉$u,v$,計算每一對$(u,v)$的貢獻。 $$ans=\sum_{u=1}^{n}\sum_{v=1}^{m}[\gcd(u,v)==1]\lfloor \frac nu \rfloor\lfloor \frac mv \rfloor$$ 寫出這個形式那就好辦了, $$f(d)=\sum_{u=1}^{n}\sum_{v=1}^{m}[\gcd(u,v)==d]\lfloor \frac nu \rfloor\lfloor \frac mv \rfloor$$ $$F(d)=\sum_{u=1}^{n}\sum_{v=1}^{m}[d|\gcd(u,v)]\lfloor \frac nu \rfloor\lfloor \frac mv \rfloor$$ 在$F(d)$的表達式中顯然$u$和$v$都是$d$的倍數,因此咱們能夠令$u=id,v=jd$而後 $$F(d)=\sum_{i=1}^{n/d}\sum_{j=1}^{m/d}\lfloor \frac {n}{id} \rfloor\lfloor \frac {m}{jd} \rfloor=\sum_{i=1}^{n/d}\lfloor \frac {n/d}{i} \rfloor * \sum_{j=1}^{m/d}\lfloor \frac {m/d}{j} \rfloor$$ 注意上面的那個結構,形如$\sum_{i=1}^{n}\frac ni$,咱們把它記做$sum(n)$。若是你作過這道題[AHOI2005]約數研究就應該不難知道這是啥。 $sum(n)=\sum_{i=1}^{n} \frac ni$表示1~n中每一個數的約數個數和 因此就是對每一個數求一下約數個數再取前綴和便可。 對一個數求約數個數使用惟一分解定理,複雜度$O(n\sqrt n)$(預處理) 別忘了答案式 $$ans=f(1)=\sum_{d=1}^{n}\mu(d)F(d)=\sum_{d=1}^{n}\mu(d)sum(\lfloor \frac {n}{d} \rfloor)sum(\lfloor \frac {m}{d} \rfloor)$$ $O(n)$處理出$\mu(d)$的前綴和而後直接數論分塊一波 複雜度$O(T\sqrt n)$ ##codephp
#include<cstdio> #include<algorithm> using namespace std; #define ll long long const int N = 50000; int gi() { int x=0,w=1;char ch=getchar(); while ((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-') ch=getchar(); if (ch=='-') w=0,ch=getchar(); while (ch>='0'&&ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar(); return w?x:-x; } int mu[N+5],pri[N+5],tot,zhi[N+5]; ll s[N+5],f[N+5]; void Mobius() { zhi[1]=mu[1]=1; for (int i=2;i<=N;i++) { if (!zhi[i]) pri[++tot]=i,mu[i]=-1; for (int j=1;j<=tot&&i*pri[j]<=N;j++) { zhi[i*pri[j]]=1; if (i%pri[j]) mu[i*pri[j]]=-mu[i]; else {mu[i*pri[j]]=0;break;} } } for (int i=1;i<=N;i++) s[i]=s[i-1]+mu[i]; } int Divide(int x) { int p[10]={0},k[10]={0},t=0; for (int i=2;i*i<=x;i++) if (x%i==0) { p[++t]=i; while (x%i==0) k[t]++,x/=i; } if (x>1) p[++t]=x,k[t]=1; int res=1; for (int i=1;i<=t;i++) res*=k[i]+1; return res; } int main() { Mobius(); for (int i=1;i<=N;i++) f[i]=f[i-1]+Divide(i); int T=gi(); while (T--) { int n=gi(),m=gi(); if (n>m) swap(n,m); int i=1;ll ans=0; while (i<=n) { int j=min(n/(n/i),m/(m/i)); ans+=(s[j]-s[i-1])*f[n/i]*f[m/i]; i=j+1; } printf("%lld\n",ans); } return 0; }