線性篩約數個數和、約數和

 

篩約數個數和

理論基礎：

一、對n質因數分解，n=p1^k1 * p2^k2 * p3^k3 ……

則n的約數個數爲(k1+1)*(k2+1)*(k3+1)……

二、線性篩素數時，用i和素數pj來篩掉 i*pj，

其中pj必定是i*pj的最小素因子

若是i是pj的倍數，pj也是i的最小素因子

 

設t[i] 表示i的約數個數，e[i] 表示i的最小素因子的個數

A、若是i是質數，t[i]=2,e[i]=1

B、若是i不是質數，枚舉已有的質數pj

i*pj的最小素因子是pj

一、若是i是pj的倍數那麼e[i]即爲i中包含的pj的個數，因此i*pj中包含的pj的個數爲e[i]+1

       因此e[i*pj]=e[i]+1,t[i*pj]=t[i]/(e[i]+1)*(e[i]+2)

二、若是i不是pj的倍數，e[i*pj]=1,t[i*pj]=t[i]*t[pj]（積性函數的性質）=t[i]*2（素數的約數個數=2）

 

#include<cstdio>

using namespace std;

#define N 1000001

bool vis[N];
int prime[N];

int t[N],e[N];

int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    int cnt=0;
    t[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;++i)
    {
        if(!vis[i])
        {
            prime[++cnt]=i;
            t[i]=2;
            e[i]=1;
        }
        for(int j=1;j<=cnt;++j)
        {
            if(i*prime[j]>n) break;
            vis[i*prime[j]]=true;
            if(i%prime[j]==0)
            {
                t[i*prime[j]]=t[i]/(e[i]+1)*(e[i]+2);
                e[i*prime[j]]=e[i]+1;
                break;
            }
            else 
            {
                t[i*prime[j]]=t[i]*2;
                e[i*prime[j]]=1;
            }
        }
    }
    long long ans=0;
    for(int i=1;i<=n;++i) ans+=t[i];
    printf("%lld",ans);
}

View Code

 

 

篩約數和

t[i] 表示i的約數和

e[i] 表示i的約數中，不能被i的最小素因子整除的約數和

A、i是質數，t[i]=i+1,e[i]=1

B、i不是質數

i*pj的最小素因子是pj

一、若是i不是pj的倍數，那麼i的全部約數中，必然沒有pj的倍數

能夠用反證法證實這個：設x是i的約數，且x是pj的倍數，

那麼 x=pj*b，i=x*a=pj*b*a

即i是pj的b*a倍，與i不是pj的倍數相矛盾

令S表示i的約數集，S’表示i的約數翻pj倍後的數的集合

則S∩S’=∅，則S和S’中無重複元素

因此t[i*pj]=S+S'=t[i]+t[i]*pj=t[i]*(pj+1)

S’中的全部元素都能整除pj，因此e[i*pj]=t[i]

二、若是i是pj的倍數，那麼S和S’必有交集T

T=S中pj的倍數

因此i*pj的約數和要去除交集T

那麼t[i*pj]=S+S'-T=S'+S-T=t[i]*pj+e[i]

由於pj既是i的最小素因子，有事i*pj的最小素因子

因此e[i*pj]=e[i]

 

 

#include<cstdio>

typedef long long LL;

#define N 100001

int prime[N];
bool vis[N];

LL t[N],e[N];

int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    int cnt=0;
    for(int i=2;i<=n;++i)
    {
        if(!vis[i])
        {
            prime[++cnt]=i;
            t[i]=i+1;
            e[i]=1;
        }
        for(int j=1;j<=cnt;++j)
        {
            if(prime[j]*i>n) break;
            vis[prime[j]*i]=true;
            if(i%prime[j]==0)
            {
                t[i*prime[j]]=t[i]*prime[j]+e[i];
                e[i*prime[j]]=e[i];
                break;
            } 
            t[i*prime[j]]=t[i]*(prime[j]+1);
            e[i*prime[j]]=t[i];
        }
    }
    LL ans=0;
    for(int i=1;i<=n;++i) ans+=t[i];
    printf("%lld",ans);
}

View Code