半平面交初步

半平面交：

問題簡述：

給定一些半平面，求他它們交集（大小，周長，\(\cdots\)）。

半平面的表示：

半平面一般由一些關於直線的不等式給出，好比 \(y\le kx + b\) 半平面就是直線 \(y = kx + b\) 下方的一塊區域。

而若是咱們欽定半平面在有向直線的左側，那麼咱們就能夠經過一條有向直線來表示半平面。

struct VecLine//有向直線
{
    Point P;//直線上的某一點
    Vec v;//方向向量
    double ang;//直線的傾斜角

    Line() { }
    Line(Point P, Point W) : P(P) { v = W - P; ang = atan2(v.y, v.x); }
    //P, W爲直線上兩點，兩點肯定一條直線，方向爲 P->W。

    bool operator < (const Line& B) const { return ang < B.ang; }

    bool Right(Point p) { return dcmp(v.Cross(p - P)) < 0; }//判斷一個點是否在該直線的右側（用叉積）。
} ;

因爲半平面是凸的，凸集的交集也必定是凸的，因此半平面交必定要麼沒有，是點，是線段，要麼是一個凸多邊形（或者一塊無限區域，即無界多邊形，但也是凸的）。

算法

增量法（在線）

複雜度 \(O(n^2)\) 的在線算法，每次增長一條直線就嘗試去切割半平面交的多邊形，具體實現咕咕咕。

極角排序（離線）

首先把全部直線極角排序，維護一個雙端隊列，隊列裏面存了當前半平面交的多邊形上的直線以及多邊形上的交點。

而且隊列裏面的直線是關於極角單調的。

因爲隊列裏面直線的單調性，每次加入一條直線後隊頭和隊尾必定是最可能會被切割的部分，這時候只要檢查隊尾和隊頭是否被加入的直線所切割，相應地彈出隊尾和對頭。

而後把加進來的直線從隊尾入隊時，特判和當前隊尾的直線是否平行，若是平行，則保留內部直線，不然直接入隊。

計算加入直線和以前隊尾直線的交點。

當全部直線加入後根據隊頭刪除無用的隊尾直線。

VecLine L[maxN + 2];//半平面（爲有向直線左側）
Point p[maxN + 2];//多邊形交集的頂點。
int HalfPlaneIntersection()
{
    int l = 1, r = 0, i = 1;
    for (q[++r] = L[i++]; i <= tot; ++i)//tot是直線的個數
    {
        while (l < r and L[i].Right(p[r - 1])) r--;//隊尾直線的「起點」在新直線的右側，彈出隊尾
        while (l < r and L[i].Right(p[l])) l++;//隊頭直線的「起點」在新直線的右側，彈出隊頭
        if (L[i].ang != q[r].ang)//判斷新直線和隊尾直線是否平行
            q[++r] = L[i];
        else if (L[i].Right(q[r].P))//保留內側直線
            q[r] = L[i];
        if (l < r)
            p[r - 1] = Intersection(q[r], q[r - 1]);//計算交點
    }
    while (l < r and q[l].Right(p[r - 1])) r--;//合併隊尾隊頭。
    if (r - l <= 1) return 0;//空集
    p[r] = Intersection(q[r], q[l]);//計算隊頭隊尾的交點。
}