3D Math Keynote 3

【3D Math Keynote 3】

一、球的表面積 Surface、球的體積 Volumn：

　　

二、當物體旋轉後，若是經過變換後的舊AABB來頂點來計算新的AABB頂點，則生成的新AABB可能比實際的新AABB大一些。

　　

　　由 舊AABB 快速計算 新AABB的方法。

　　

　　若是 m < 0，則取min值參與計算，若是 m > 0，則取max值參與計算。

三、多於3個點的最佳平面。算法就是求出全部的n，而後求個平均值。（此公式書中未給出證實過程）

　　

　　使用求和符號，能使公式更簡潔一些。

　　

　　最佳d值爲：

　　

四、點到平面的距離。好比平面外有一點q，求q到平面的距離。

　　

　　

五、三角形的正弦、餘弦公式。

　　

　　

　　海倫公式，讓咱們可使用三邊長度，計算出面積：

　　　　

六、根據三個頂點座標，快速計算三角形面積。

　　順時針，依次每條邊與x軸圍成的面積。

　　　　

　　A(e1) + A(e2) + A(e3) 便是三角形面積。

　　

　　能夠看到若是將三角形下移h高度，使得三角形與X軸穿叉，面積實際上不會變。

　　A(e1) = (y3+y2-h)(x3-x2)/2，將-h提取出來，獲得 -hx3+hx2

　　A(e2) = (y1+y3-h)(x1-x3)/2，將-h提取出來，獲得 -hx1+hx3

　　A(e3) = (y2+y1-h)(x2-x1)/2，將-h提取出來，獲得 -hx2+hx1

　　能夠看到，上面三個A中新增出來的項，恰好相互抵消。因此即便三角形與X軸相互穿叉，上述算法也能獲得正確的面積。

　　最後，最簡單的方法實際是計算叉積，叉積便是面積。

　　

七、三角形局部座標，一般可使用重心座標。

　　

　　　　

　　每一個頂點對應的邊上的每個點的對應份量爲0。

　　

　　重心座標不一樣於笛卡爾座標，笛卡爾有2個維度的變量，重點座標卻有3個維度的變化。因爲 b1+b2+b3=1，因此實際上，在重心座標系下，只要兩個維度就能唯一肯定一個位置。

八、給定 v1,v2,v3和p，計算 p 的重心座標。

　　　　

　　

　　重心座標實際是面積比。

　　

九、計算3D中任意點的重心座標。

　　一種算法是經過拋棄 x,y,z 中的一個份量，將3D問題轉化到 2D 中。

　　但存在一個問題，若是投影后三點或兩點共線怎麼辦。一種解決方法是，挑選投影面積最大的那一面來計算。實際計算方法就是，拋棄法向量中份量最大的那一個軸。

　　

　　另外一種算法是使用公式 12.23 中的面積比法，計算p點與各邊圍成的面積，求出比例。

十、重心或質心。

　　

　　心裏是指到三角形各邊相等的點。之因此稱之爲心裏，是由於它是三角形內切圓的圓心。心裏是角平分線的交點。

　　

　　

　　外心是到三角形各頂點距離相等的點，是三角形外接圓的圓心。

　　

　　　　

　　　　

十一、簡單多邊形不包含洞，複雜多邊形可能包含洞。

　　凸多邊形任意兩點連續均在圖形內，凹多邊形有可能在圖形外。怎樣才能知道一個多邊形是凹的仍是凸的?一種方法是檢查n個頂點的較小角的和（解決凹多邊形的問題）， 是否爲 (n-2)*180。

　　

　　凸多邊形的補角和爲 360 度。

　　另外一個檢測凹凸多邊形的方法是每個點的轉身，用叉乘來作。

十二、點距直線的最接近點。

　　　　

1三、點距射線的最接近點。

　　　　

1四、點到平面的最接近點。與12中的點到直接的最接近點公式同樣，只是多了一維。

　　

1五、點到圓或球的最接近點。

　　　　

1六、計算AABB上的最接近點。
　　算法是按必定順序，沿着每條軸將 q 推 B。

　　

　　

1七、2D 中隱式直接相交性檢測。

　　

1八、3D中兩條射線的相交檢測。

　　

　　

1九、射線和平面的相交性檢測。

　　　　

　　上述公式是經過代數的方程的方法來解。　　

　　根據公式，能夠提供另外一種理解方法。 d-p0*n 實際上是 p0到平面的距離，d*n實際上是d與n平行的分向量。總距離除以向量步行，便可獲得t的值。

 

20、AABB和平面的相交性檢測。

　　

 　　動態檢測：

　　　　

2一、三平面相交性檢測。算法與2D中兩直線相交性檢測相似，解方程。

　　　　

 

2二、射線和圓、球的相交性檢測。

　　

　　上圖中 a能夠經過 e到射線的投影計算出來。

　　

　　b 能夠經過 e、a求出來。

　　

　　f 能夠經過 r、b求出來。

　　

　　t 能夠經過 a、f求出來。

　　

 

2三、兩個圓球的相交性檢測。

 　　兩個運動的球須要經過相對運動來計算。

　　　　

　　經過相對運動，將問題轉化成了以下模型：

　　

　　根據 cos 定理，有以下公式：

　　

　　　 

2四、球和AABB的相交性檢測。

　　選擇 min/ max，取一個最小 magnitude， 看是否小於距離。

2五、球和平面的相交性檢測。

　　計算圓心到平面的距離，看是否小於r。

　　

　　若是圓在運行中，如何求解t爲什麼值時與平面碰撞？

　　

　　問題轉化成了點到平面的距離。

　　

 

2六、射線和三角形的相交性檢測。

　　第一步，計算射線到三角形平面的交點。第二步，經過計算交點的重心主座標，來判斷它是否在三角形中。

2七、射線和AABB的相交性檢測。

　　書中未詳細說明算法。

2八、兩個AABB的相交性檢測。

　　檢測兩個AABB是否相交很是簡單，只要在每一維上檢查它們的重合度便可。若是全部維上都沒有重合，那麼這兩個AABB就不會相交。

　　動態狀況麻煩一點，若是向某方向以d運行，求t時刻相遇。t爲全部維上同時重合的第一個點。

　　

　　全部時間區間的交集，就是兩個邊界框相交的時間段。

　　

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