一類dp的網格模型

關於形如\(f_{i,j} = \sum_{t=1}^{|w|}\sum_{k=1}^{|v|}f_{i+w_t,j+v_k}\)，其中\(w_t,v_k\)爲一個定值的\(dp\)轉移。
能夠考慮放到座標上，畫出其轉移路線，而後考慮組合意義。

Section1

求\(\sum_{i,j} \binom{a_i+b_i+a_j+b_j}{a_i+a_j}\)，其中\(a,b\leq 4000,n\leq 10^6\)。

\(\binom{a_i+b_i+a_j+b_j}{a_i+a_j}\)等價於從\((-a_i,-b_i)\)走到\((a_j,b_j)\)的方案數。
建圖後直接從左下往右上暴力\(dp\)出解。

Section2

定義一個\(n\)的排列合法，當且僅當：設\(n\)的位置爲\(x\)，有：
\[p_1<p_2<p_3....<p_{x-1}<p_x>p_{x+1}>....>p_{n-1}>p_n\]
有\(m\)個限制\((pos,v)\)，形如\(p_{pos} = v\)，
數據範圍：\(m\leq n\leq 10^5\)，求合法排列數。

考慮從小往大放，設\(f_{i,j}\)表示放完\(1,2...i\)，左側放了\(j\)個。
轉移方程：\(f_{i,j} =f_{i-1,j-1} +f_{i-1,j}\)。
初始在\((0,0)\)每次放一個至關於移動\((+1,0)\)或\((+1,+1)\)。
限制至關於限制\(f_{v,j}\)必須經過特定方向到達該點。
而每一列最多就兩個特殊點，直接對特殊點進行\(dp\)，最後一列特殊處理一下便可。

Section3

[JLOI2015]騙我呢

考慮突變的位置，設\(f_{i,j}\)表示作到第\(i\)行，該行突變位置爲\(j\)。
有：\(f_{i,j} = f_{i,j-1} +f_{i-1,j+1}\)，其中\(f_{i,0} = f_{i-1,0}\)。
畫出轉移路線，把轉移路線拽直能夠發現，問題轉化爲：
從\((0,0)\)出發，到達\((n+m,n)\)，且不通過\(y=x+2\)和\(y=x-(m+1)\)的方案數u。
容斥計算。

Section4

[NOI2018]冒泡排序

設\(f_{i,j}\)表示還剩下\(i\)個要放，前面的最大值爲\(j\)的方案數。
顯然當前點要麼放比\(j\)大的數，要麼放還沒放的數中最下的那個。
因爲咱們是逆推因此：\(f_{i,j} = f_{i-1,j} + \sum_{k=j+1}^{n} f_{i-1,k} = \sum_{k=j}^n f_{i-1,k}\)。
考慮統計答案，枚舉在哪一個點\(i\)開始處於自由態。
因爲不會放\(a_i\)，而\(a_i\leq max_{pre}\)，因此必定只能放比\(max_{pre}\)大的數。
此時的方案數爲\(\sum_{k=max_{pre}+1}^n f_{n-i,k} = f_{n-i+1,max_{pre}+1}\)。
惟一的問題變爲如何快速處理\(f\)。
顯然合法的\(f_{i,j}\)須要知足\(j\ge n-i\)，畫出轉移路線圖，問題轉化爲：
從\((0,n)\)出發，不通過\(y=-x+(n-1)\)到達\((i,j)\)的方案數。
這是經典問題，答案爲 \(\binom{i+n-j}{i} - \binom{i+n-j}{i+1}\)。