Bzoj 4518: [Sdoi2016]征途(斜率優化DP)

4518: [Sdoi2016]征途
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Description
Pine開始了從S地到T地的征途。
從S地到T地的路能夠劃分紅n段，相鄰兩段路的分界點設有休息站。
Pine計劃用m天到達T地。除第m天外，每一天晚上Pine都必須在休息站過夜。因此，一段路必須在同一天中走完。
Pine但願每一天走的路長度儘量相近，因此他但願每一天走的路的長度的方差儘量小。
幫助Pine求出最小方差是多少。
設方差是v，能夠證實，v×m^2是一個整數。爲了不精度偏差，輸出結果時輸出v×m^2。
Input
第一行兩個數 n、m。
第二行 n 個數，表示 n 段路的長度
Output
一個數，最小方差乘以 m^2 後的值
Sample Input
5 2
1 2 5 8 6
Sample Output
36
HINT
1≤n≤3000,保證從 S 到 T 的總路程不超過 30000
Source
鳴謝Menci上傳

/*
斜率優化DP.
一開始寫f[i][j]表示前i天走到j的最小方差.
f[i][j]=f[i-1][k]+(sum[j]-sum[k]-x)^2.
x=sum[n]/m.
而後卡精度了(我傻逼.
咱們把m^2乘進去化簡 
而後就變成了
f[i][j]=f[i][k]+(sum[j]-sum[k])^2
f[i][j]表示右邊這個東西的最小值.
ans=f[n][m]-sum[n]*sum[n].
這樣顯而易見是O(n^3)的.
而後用斜率優化維護下凸決策便可.
複雜度就變成了O(n^2). 
*/
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#define MAXN 3001
#define LL long long
using namespace std;
LL n,m,f[MAXN][MAXN],sum[MAXN],q[MAXN];
int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-48,ch=getchar();
    return x*f;
}
double slove(int t,int x,int y)
{
    if(!x&&!y) return 1e9;
    return double(f[t][y]-f[t][x]+m*(sum[y]*sum[y]-sum[x]*sum[x]))
    /double(sum[y]-sum[x]);
}
void slove()
{
    int head,tail;
    memset(f,127/3,sizeof f);
    f[0][0]=0;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
      head=tail=0;
      for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            while(head<tail&&slove(i-1,q[head],q[head+1])<2*m* sum[j]) head++;
            f[i][j]=f[i-1][q[head]]+m*((sum[j]-sum[q[head]])*(sum[j]-sum[q[head]]));
            if(tail) while(head<tail&&slove(i-1,q[tail-1],q[tail])>slove(i-1,q[tail],j)) tail--;
            q[++tail]=j;
        }
    }
    cout<<f[m][n]-sum[n]*sum[n];
}
int main()
{
    int x;
    n=read(),m=read();
    for(int i=1;i<=n;i++) x=read(),sum[i]=sum[i-1]+x;
    slove();
    return 0;
}