幾個機率題

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1，一根木棒，截成三截，組成三角形的機率是多少？

2，拋一個六面的色子，連續拋直到拋到6爲止，問指望的拋的次數是多少?

3，一個木桶裏面有M個白球，每分鐘從桶中隨機取出一個球塗成紅色（不管白或紅都塗紅）再放回，問將桶中球所有塗紅的指望時間是多少？

4，你有一把寶劍。每使用一個寶石，有50%的機率會成功讓寶劍升一級，50%的機率會失敗。若是寶劍的級數大於等於5的話，那麼失敗會使得寶劍降1級。若是寶劍的級數小於5的話，失敗沒有效果。問題是：指望用多少個寶石可讓一把1級的寶劍升到9級？

5，一個黑盒裏是一個圖，結構未知，只知道點的個數是n，邊的個數是m，寫公式給出兩個點相連的機率。

6，54張牌，平均分紅三堆，大小王在同一堆的機率？

 

Solutions:

1, 0.25

假設總體長度爲1（由於這個值不影響機率的計算，因此能夠這樣假設），第一段的長度是x，第二段爲y，第三段爲1-x-y。

x,y值要想成爲木棍切出來的長度必需要知足的條件爲 0<x<1, 0<y<1,0<x+y<1，這些點構成了下圖1中紅色的部分。

而這三段要構成三角形還必須知足：

x+y>1-x-y => x+y>0.5

x+1-x-y>y => y<0.5;

y+1-x-y>y => x<0.5

這些點構成圖2中黃色區域。黃色區域與紅色區域面積的比值就是，全部切割中能構成三角形的切割方式和全部切割方式的比值。也就是題目的答案。

 

2，這種一種機率模型？叫啥來着

由於每次拋到6的機率相等，都是1/6，因而指望的次數就是1/(1/6)=6次。

 

3，一個木桶裏面有M個白球，每分鐘從桶中隨機取出一個球塗成紅色（不管白或紅都塗紅）再放回，問將桶中球所有塗紅的指望時間是多少？

這題目和上面的用到了一樣的機率模型。

在M個球中取到第1個未着色的取得次數指望是：1

在M個球中取到第2個未着色的取得次數指望是：1/(M-1/M)   ---- 這就是用題目2的模型得出的指望，就像拋色子(只有兩色)，第一個着色的點數爲1，其它全部未着色的是點數爲2。

在M個球中取到第3個未着色的取得次數指望是：1/(M-2/M)

...

在M個球中取到第M個未做色的求所須要的取得次數的指望是：1/(1/M)

總體次數的指望就是 1+ 1/(M-1/M)+1/(M-2/M)+...+M

 

4，

用a[i]表示從第i-1級升到第i級指望使用的寶石數量。

當i<=5時，由於不會降級，則指望的數量均爲2，即a[2] = a[3] = a[4] = a[5] = 2

當i>5時，由於會降級，成功時一個寶石就夠了，不成功時須要倒退一級，須要先使用a[i-1]個寶石先回到i-1級，再使用a[i]個寶石升到第i級，即

a[i] = 1 * 1/2 + (1 + a[i-1] + a[i]) * 1/2

即 a[i] = a[i-1] + 2

可知，a[6]= 4, a[7] = 6, a[8] = 8, a[9] = 10

則1級到9級須要的寶石數爲 a[2]+…+a[9] = 36。

 

5，(only my solution, maybe it's not right...)

n個頂點能夠有N=n*(n-1)/2條邊，因此這個問題與問題：進行N次實驗，每次實驗的結果符合伯努利分佈，成功的機率爲p（未知），N次實驗總的成功(平均)次數爲m，那麼p是多少？是相同的。設隨機變量A表示N次伯努利實驗成功的次數，Ai表示第i次實驗的結果，P(Ai=0)=p，那麼A=A1+A2+... 。m=E(A)=E(A1)+E(A2)+.. 。並且E(Ai)=p，因此很容易就求出p來了。

 

6，

在高中時，這種題過小菜了!!惋惜我已經高中過去七八年了~~~

隨機事件A: 小王和大王在同一堆

隨機事件Ai：小王和大王在第i堆, i=1,2,3 。 A1，A2和A3互斥

P(A)=P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=P(大王在第一堆，小王在第一堆)+P(大王在第二堆，小王在第二堆)+P(大王在第三堆，小王在第三堆)

=P(大王在第一堆|小王在第一堆)P(小王在第一堆)+P(大王在第二堆|小王在第二堆)P(小王在第二堆)+P(大王在第三堆|小王在第三堆)P(小王在第三堆)

=3*(17/53)*(1/3)

=17/53

 

 

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1, 給你一個數組，設計一個既高效又公平的方法隨機打亂這個數組

2，有一蘋果，兩我的拋硬幣來決定誰吃這個蘋果，先拋到正面者吃。問先拋這吃到蘋果的機率是多少？

3，快速生成10億個不重複的18位隨機數的算法(從n個數中生成m個不重複的隨機數)

 

Solution1:

1，對於A[i],i=0,1,2,...N，隨機在數組A[i,i+1,..N]中挑選一個數字交換到A[i]。

爲何這麼作會隨機？

證實算法隨機，只需證實每一個數字分配到每一個位置的機率是相等的。

易得，數組0-N位置的任意一個數字到位置0的機率都是1/n

到位置1的機率是(1-1/n)*(1/(n-1))=1/n

解釋：P(到位置1)=P(第一次調用隨機算法的時候沒交換到位置0)P(第二次到位置1|第一次調用隨機算法的時候沒交換到位置0)

到位置2的機率是(1-1/n)(1-1/(n-1))(1/n-2)=1/n

...

2，A表示隨機事件先拋的人吃到蘋果，那麼

i表示先拋的人一共拋了的次數，上面的式子能夠求出，P(A)=2/3

3,