關於天然對數e的一些思考

關於天然對數e一直不太明白，爲何她是天然對數？哪裏天然了？整理了相關資料，記錄下來，省得之後忘了~（逃）

提到e，比較有名的就是公式：

還有就是從複利中推出e：經過「利滾利」的高利貸，並不斷縮短計息週期而發現

假設你在銀行存了1元錢，很不幸同時又發生了嚴重的通貨膨脹，銀行存款利率達到了逆天的100%！
銀行通常1年才付一次利息，根據下公式x=1，滿1年後銀行付給你1元利息（綠圓），存款餘額=2元

若是銀行半年付一次利息，而後把利息當成本金，下半年和本金一塊兒生息

繼續，銀行1/3年付一次利息

那每分每秒呢？

也就死n無窮大時
這個值是天然增加的極限，所以以e爲底的對數，就叫作天然對數

這些都是e的經典解釋，可是事實上，利滾利的極限應該是在人們發現了e以後才認識到的，而不是相反。
因此咱們仍是從數學歷史上來看看e究竟是如何發現的！！
e也叫天然對數的底數，因此從對數提及。咱們今天知道，對數是指數的逆運算，但是，人們最先認識並樸素的定義出對數的時候，還徹底沒有意識到這是指數的逆運算。人們是爲了簡化計算（特別是天文計算）而發現對數的！也就是對數先於指數被發現。（並非指古時沒有連乘運算，而是沒有指數的思想及表達形式）
咱們常常說的天文數字，意思是巨大的數字，因此當時天文學家計算是一件很是痛苦、麻煩的事情！那有沒有能簡化計算的方式呢？還真有：

人們在認識到三角函數之後，就利用三角函數表和三角函數之間的關係，發明了一種將乘除計算轉化爲加減計算的方法，被稱之爲「加減術」。還以上面兩個數字相乘爲例：
已知

查三角函數表得， ，

因而獲得

再查三角函數表得， ，

因而，人們將乘除法的計算經過查找三角函數錶轉化爲了加減法的計算，獲得

原理就是提早製做出足夠精確的三角函數表，換乘除爲加減。換個方式說就是把乘除的計算量提早轉化爲三角函數的計算量。這種「加減術」優勢就是簡化乘除運算，在當時算是很先進了。可是缺點是屢次換算不夠精確，致使偏差太大，並且也不夠簡便。
一樣的思路，不一樣的方法：

1484年法國巴黎大學醫學學士寫了<關於數的科學>一書，書中他將等差數列和等比數列進行比較，發現一個有趣的性質：
0,1,2,3 , 4 , 5 , 6 ,…等差數列
↑ ↑ ↑
1,2,4,8,16,32,64,… 2爲底的等比數列

等比數列中兩項的商在等差數列中的對應項，是兩項在等差數列中對應項的差。好比 2+4=6能夠化成4x16=64。這個就是原始加減術簡單多了。聽說早期阿基米德也有發現這個原理。原理簡單，關鍵看實踐。若是咱們簡化5x15呢？這個簡單數列就沒辦法轉換了！！！等比數列中兩數的間格太大！
爲了能使這個數列能實際運用，可從兩個方向改造：等比數列底不變，使用小數的指數，好比，2^0,2^0.1,2^0.2,...,惋惜當時人們還沒認識指數，更別提小數的指數；第二種就是當時所選用的方法：選擇一個跟1很是接近的底數r=1-10^-7=0.9999999 。

約翰.納皮爾（John Napier）的偉大貢獻——發明對數
納皮爾構造了兩個粒子的運動，粒子b在一條無窮長的射線上作勻速運動；粒子 beta 在一條固定長度線段上作變速運動，其運動速度在數值上與 beta 粒子到線段終點的距離相同。兩個粒子的初始運動速度相同。（參見下圖）

用如今方程表示的話：

由於當時計算小數比較麻煩，因此納皮爾實際的方程爲：

對這個方程進行變換獲得：

令， 獲得：

能夠看出納皮爾方程實際是以 爲底的指數方程， 很是接近1/e。
用如今的眼光來看，其實不用乘以，若是不對小數刻意迴避，方程應該更簡潔。不過也正是對小數的迴避，納皮爾纔會在不經意間發現天然對數。（稍後發表的比爾吉(Burgi)對數實際是以爲底，更接近e。）

以上就是e最先的來源了。下面咱們看看納皮爾對數表的用法！

第一列是等比數列變化，第二列是現代指數運算，第三列是納皮爾數。這個表納皮爾用了幾十年纔算出來能夠實際運用（沒有第二列）

假如須要計算 9999997*9999985 能夠找出9999997 對應 3 ，9999985 對應 15，乘法化加法 9999997 * 9999980 對應 3+15=18，18 對應 9999982 ，也就是 9999997*9999985=9999982，咦，這個確定不對呀，一眼就看出來了！！
哈哈，這就是納皮爾對數表的侷限性了，從方程能夠得出第三列 y1*y2=(x1+x2)*10^7,這樣纔是正確結果，因此9999997*9999980=（3+15）*10^7。第二列的話就不用再乘係數了，這仍是納皮爾爲了不小數計算所帶來的小麻煩！！

以上！