關於天然常數e的理解

關於天然常數 \(e\)的理解

By Z.H. Fu 切問錄 ( http://www.fuzihao.org )

利息增加模型

　　在上中學學習對數的時候，咱們就學到了一個叫作e的東西(\(e\approx 2.71828\))，後來又學了e的定義，(\(e=\lim \limits_{n\to \infty}(1+\frac{1}{n})^n\)),可是始終缺少一個直觀的理解，爲何e要這麼定義，爲何處處都會有他的身影。後來在研究一個增加模型的時候，從新研究了下e的定義，找到了幾個關於它的直觀的理解。
　　首先研究這麼一個模型，你往銀行裏存錢，假設銀行的利息按年結算，銀行每一年的利息與你在銀行存的總額和時間成正比（即利息=現金總量x利率x時間差），設存入金額爲1，利率爲p，那麼第二年，你在銀行的金額增長到了\(1+p\),第三年，你在銀行的錢將有\((1+p)(1+p)\),第\(n+1\)年將有\((1+p)^n\)注意這裏的時間差都是以年來計算，假設，咱們遇到了一個頗有耐心的銀行，它願意天天給你結算利息，咱們來計算每一天的資金量，次日的資金量=\(1+\frac{p}{365}\)(利息=總金（1）x利率（p）x時間（\(\frac{1}{365}\)）)，第365天的資金量爲\((1+\frac{p}{365})^{364}\)，有沒有看到e的雛形？咱們再假設銀行每秒鐘都會算一次利息，一年有n秒，那麼，按照以前給出的方法，咱們就有年底的總金額=\((1+\frac{p}{n})^n\)當n趨於無窮大時，即銀行每時每刻都會給你結算利息，即等於\(e^p\)，也就是說，複利的極限居然和e有關係！

泰勒級數的直觀理解

　　咱們換種思路再來思考這個問題，此次咱們用利滾利的方式來思考，你的本金在銀行放了一年，這些本金產生的利息爲設每一時刻的本金爲\(c(t)=1\)，那麼在一年中第t時刻咱們擁有的利息爲：
\[p_0(t)=\int_0^t p c(t)dt=\int_0^t p dt = pt\]
於是一年下來的利息爲p。可是事情尚未結束，由這些利息產生的利息尚未被計算，那麼利息產生的利息在t時刻應該爲：
\[p_1(t)=\int_0^t p p_0(t)dt=\int_0^t p^2 dt = \frac{p^2t^2}{2}\]
一樣的道理，利息的利息，也會產生利息，這個利息又等於：
\[p_2(t)=\int_0^t p p_1(t)dt=\int_0^t p\frac{p^2t^2}{2} dt = \frac{p^3t^3}{3\times 2}\]
依次地推，咱們有利息的利息的利息產生的利息在t時刻爲：
\[p_3(t)=\frac{p^4t^4}{4!}\]
而這種遞推是無窮的，咱們把這些本金和利息加載一塊兒就是咱們最後擁有的資金，總數爲：
\[\begin{aligned}S&= 1+p_0+p_1+\cdots+p_n+\cdots \\ &=\frac{p^0}{0!}+\frac{p^1}{1!}+\cdots +\frac{p^n}{n!}+\cdots \\ &=e^p \end{aligned}\]
其中，t所有被帶換成了1。這正是e的泰勒級數展開。
　　因而可知，咱們經過一種模型導出了e的兩種表示方式，那麼這兩種表示方式有沒有什麼聯繫呢？實際上，咱們講e的極限式展開，有：
\[\begin{aligned}e^p&=\lim \limits_{n\to \infty}(1+\frac{p}{n})^n\\&=(1+\frac{p}{n})(1+\frac{p}{n})(1+\frac{p}{n})\cdots\end{aligned}\]
咱們來觀察其中的每一項
1的係數爲1
含\(\frac{p}{n}\)的項爲\(\lim \limits_{n\to \infty}\binom{n}{1}\frac{p}{n}=\lim \limits_{n\to \infty}n\frac{p}{n}=p\)
含\((\frac{p}{n})^2\)的項爲\(\lim \limits_{n\to \infty}\binom{n}{2}(\frac{p}{n})^2=\lim \limits_{n\to \infty}\frac{n(n-1)}{2!}(\frac{p}{n})^2=\frac{p^2}{2!}\)
含\((\frac{p}{n})^k\)的項爲\(\lim \limits_{n\to \infty}\binom{n}{k}(\frac{p}{n})^k=\lim \limits_{n\to \infty}\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}(\frac{p}{n})^k=\frac{p^k}{k!}\)
所以這些項的和爲：
\[S=1+p+\frac{p^2}{2!}+\frac{p^3}{3!}+\cdots+\frac{p^k}{k!}+\cdots=e^p\]
上面這個證實用到了多項式展開向無窮的推廣，歐拉曾經在證實\(\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2}=\frac{\pi^2}{6}\)時用到了這個展開，但在當時還不算嚴謹，而這個展開推廣的合理性則是在一百年後由維爾斯特拉斯給出。

從常微分方程來理解

　　由以上論述，咱們統一了e的泰勒展開與其定義，並給出了相應的物理意義，最後來看看通常狀況下咱們是怎麼解決這個問題的。設每個時刻的金額數爲y，那麼咱們有：
\[dy=y p dt\]即
\[y'=py\]
這是一個簡單的常微分方程，他的解就是\(y=e^{pt}\)
　　綜上咱們給出了同一個模型在e的定義、e的泰勒展開、常微分方程三種表示的物理意義。其中，常微分方程的使用最廣，而泰勒級數的方式卻體現了現代數學的一種無窮遞歸的思想，這種思想爲後來的數學發展起到了至關大的影響做用。

參考文獻

[1] http://betterexplained.com/articles/an-intuitive-guide-to-exponential-functions-e/
[2] http://www.guokr.com/article/50264/