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博弈論五大模型
前四大模型的深刻理解html
Bash博弈模型
有一堆數量爲n的石頭，雙方輪流每次從堆中取至少1個石頭最多m個石頭，誰先取完誰贏。ios
設存在整數k和r使方程n=k*(m+1)+r成立,當r==0時先手必敗，不然先手必贏。函數
結論：n%(m+1) == 0, 先手必敗spa
Wythoff博弈模型
有兩堆數量分別爲x、y(x <= y)的石頭，每次能夠從一堆中取至少一個石頭或者從兩堆中取同等數量的石頭，誰先取完誰贏。.net
結論：x == floor( (sqrt(5)+1)/2 )*(y-x), 知足等式時先手必敗code
Nim博弈模型
有任意m堆、數量任意的石頭，每次只能從一堆中獲取至少1個石頭，誰先取完誰贏htm
設石頭堆Di，Di的異或和k = D1^D2^...^Di，當且僅當k == 0時先手必敗，不然先手必贏blog
結論：D1^D2^...^Di == 0, 先手必敗遊戲
Fibonacci博弈模型
有一堆數量爲n的石頭，雙方輪流從石頭堆裏取k[i]個石頭(1≤k[i]≤2*k[i-1])，先取完的人獲勝
當且僅當n不是斐波那契數時，先手必勝，不然先手必敗
結論：Fib(n) == false, 先手必勝
SG函數
定義： P點：必敗點，換而言之，就是誰處於此位置，則在雙方操做正確的狀況下必敗。 ______ N點：必勝點，處於此狀況下，雙方操做均正確的狀況下必勝。 定義：設mex{S}爲集合S中第一個不存在的正整數 定義：設sg(x)爲x狀態的sg值，sg(x)=mex{S}，其中S爲x的後繼狀態的sg值的集合 當sg(x) == 0時， 沒有獲勝局面，此時處於P點 性質：一、全部終結點的sg值都爲0，即sg(0) == 0 ______二、不管在N點如何操做，都至少存在一種狀況進入P點 ______三、不管如何，P節點的後繼節點必定是N節點 ______四、不管如何只能進入N點的點必定是P點
例題：HDU 1848：Fibonacci again and again
題解：假設只有一堆數量爲n的石子
定義sg(x)函數爲當前石子數量的sg函數，每次只能取Fib[]數列的數
sg[0] = 0, Fib[] = {1,2,3,5...}
當x == 1時，能夠取Fib[1]個石子，剩餘0個石子，sg[1] = mex{sg[0]} = mex{0} = 1;
當x == 2時，能夠取Fib[2]、Fib[1]個石子，剩餘一、0個石子sg[2] = mex{sg[1],sg[0]} = mex{0,1} = 2;
當x == 3時，能夠取Fib[3]、Fib[2]、Fib[1]個石子，剩餘二、一、0個石子，sg[3] = mex{sg[2],sg[1],sg[0]} = mex{2,1,0} = 3;
當x == 4時，能夠取Fib[3]、Fib[2]、Fib[1]個石子，剩餘三、二、1個石子，sg[4] = mex{sg[3],sg[2],sg[1]} = mex{3,2,1} = 0;
......
當x == n時，若sg[n] != 0，先手必勝
對於多堆石子，類比Nim遊戲：
sg[n]^sg[m]^sg[k] == 0, 先手必敗
#include<iostream>
#include<vector>
#include<map>
#include<set>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<string>
#include<string.h>
#include<queue>
using namespace std;
#define fi first
#define se second
#define mp make_pair
#define pb push_back
#define rep(i, a, b) for(int i=(a); i<(b); i++)
#define sz(a) (int)a.size()
#define de(a) cout<<#a<<" = "<<a<<endl
#define dd(a) cout<<#a<<" = "<<a<<" "
#define be begin
#define en end
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;
typedef vector<int> vi;
const int N = 1005;
vi f;
void fib(){
f.pb(1), f.pb(1);
for(int i = 1;f[i] < N;i++){
f.pb(f[i]+f[i-1]);
}
f.erase(f.begin());
}
int sg[N];
void SG(){
vi::iterator it;
sg[0] = 0;
for(int i = 1;i < N;i++){
set<int> q;
for(it = f.begin();it != f.end() && *it <= i;it++){
q.insert( sg[i-(*it)] );
}
set<int>::iterator sit = q.begin();
int t = 0;
for(;sit != q.end();sit++){
if(t < *sit) {
break;
}
else
t = *sit+1;
}
sg[i] = t;
}
}
int main()
{
std::ios::sync_with_stdio(false);
std::cin.tie(0);
fib();
SG();
int m,n,p;
while(cin >> m >> n >> p){
if(m == 0) break;
if((sg[m]^sg[n]^sg[p]) == 0) cout << "Nacci" << endl;
else cout << "Fibo" << endl;
}
return 0;
}