[BZOJ 4350]括號序列再戰豬豬俠 題解（區間DP）

[BZOJ 4350]括號序列再戰豬豬俠

Description

括號序列與豬豬俠又大戰了起來。
衆所周知，括號序列是一個只有(和)組成的序列，咱們稱一個括號
序列S合法，當且僅當:
1.( )是一個合法的括號序列。
2.若A是合法的括號序列，則(A)是合法的括號序列。
3.若A，B是合法的括號序列，則AB是合法的括號序列。
咱們考慮match[i]表示從左往右數第i個左括號所對應的是第幾個右
括號，如今他獲得了一個長度爲2n的括號序列，給了你m個信息，第i
個信息形如ai,bi，表示match[ai]<match[bi]，要你還原這個序列。
可是你發現這個豬豬俠告訴你的信息，可能有多個括號序列合法；甚
至有可能告訴你一個不存在合法括號序列的信息！
你最近學了取模運算，你想知道答案對998244353(7172^23+1)取
模的結果，這個模數是一個質數。

Input
第一行一個正整數T,T< = 5，表示數據組數。
對於每組數據，第一行一個n,m，n表示有幾個左括號，m表示信息數。
接下來m行，每行兩個數ai,bi，1< = ai,bi< = n。

Output
對於每組數據，輸出一個數表示答案。

Solution

1.對於限制條件match[i]<match[j],記錄v[i][j]=1。在全部條件記錄結束後，處理二維前綴和，用於dp轉移合法性的判斷；

當sum[x1...x2][y1...y2]>0時，即表明[x1...x2]中的元素對[y1...y2]中的元素有限制。

補充：求二維區間和辦法：O(n^2)預處理前綴和，O（1）詢問結果：

對於v[x1...x2][y1...y2]（x1<=x2,y1<=y2）,

ans=v[x2][y2]-v[x1-1][y2]-v[x2][y1-1]+v[x1-1][y1-1],即：

inline ll sum(ll x1,ll x2,ll y1,ll y2){
    return v[x2][y2]-v[x1-1][y2]-v[x2][y1-1]+v[x1-1][y1-1];
}

2.對與待處理區間[l,r],將其用第一個左括號對應的右括號的位置劃分並轉移：

（1）第一個括號對應的右括號在它旁邊，當且僅當其後方對其沒有限制時，

即sum(l+1,r,l,l)=0，轉移爲 f[l][r]=(f[l][r]+f[l+1][r])%mod;

（2）第一個括號對應的右括號在整個區間右邊，當且僅當其對後方沒有限制時，

即sum(l,l,l+1,r)=0，轉移同上；

（3）第一個括號對應的右括號在區間內，在第k個左括號右側時，此時應知足：

a.右半段對左半端沒有限制，即 sum(k+1,r,l,k)=0；

b.第一個括號對左半個區間沒有限制時，即 sum(l,l,l+1,k)=0；

轉移爲方案數加上左側方案數右側方案數，即 f[l][r]=(f[l][r]+f[l+1][k]f[k+1][r])%mod;

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
typedef long long ll;
using namespace std;

ll t,n,m,v[500][500],f[500][500]; 
const ll mod=998244353;

inline ll rd(){
    ll x=0;
    bool f=0;
    char c=getchar();
    while(!isdigit(c)){
        if(c=='-')f=1;
        c=getchar();
    }
    while(isdigit(c)){
        x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);
        c=getchar();
    }
    return f?-x:x;
}

void init(){
    n=rd();
    m=rd();
    memset(f,0,sizeof(f));
    memset(v,0,sizeof(v));
    for(ll i=1;i<=m;++i)v[rd()][rd()]=1;
    for(ll i=1;i<=n;++i)
        for(ll j=1;j<=n;++j)
            v[i][j]=v[i-1][j]+v[i][j-1]+v[i][j]-v[i-1][j-1];    
}

inline ll sum(ll x1,ll x2,ll y1,ll y2){
    return v[x2][y2]-v[x1-1][y2]-v[x2][y1-1]+v[x1-1][y1-1];
}

void dp(){
    for(ll i=1;i<=n;++i){
        f[i][i]=1;
        if(sum(i,i,i,i)==1){
            putchar('0');
            putchar('\n');
            return;
        }
    }
    for(ll len=2;len<=n;++len)
        for(ll l=1;l<=n-len+1;++l){
            ll r=l+len-1;
            if(!sum(l,l,l+1,r)) f[l][r]=(f[l][r]+f[l+1][r])%mod;
            if(!sum(l+1,r,l,l)) f[l][r]=(f[l][r]+f[l+1][r])%mod;
            for(ll k=l;k<=r;++k)
                if((!sum(k+1,r,l,k))&&(!sum(l,l,l+1,k)))
                    f[l][r]=(f[l][r]+f[l+1][k]*f[k+1][r])%mod;
        }
    printf("%lld\n",f[1][n]);   
}

int main(){
    t=rd();
    while(t--){init();dp();}
    return 0; 
}

有關區間DP的其餘講解參考個人隨筆：http://www.cnblogs.com/COLIN-LIGHTNING/p/9038198.html