Bellman-Ford&&SPFA算法詳解

Dijkstra在正權圖上運行速度很快，可是它不能解決有負權的最短路，以下圖：

Dijkstra運行的結果是（以1爲原點）：0 2 12 6 14；

但手算的結果，dist[4]的結果顯然是5，爲何會出現這種狀況呢？緣由很顯然，Dijkstra認爲，從一個更長的邊過來不會比一個更短的邊過來更短（讀起來很繞口，但請讀者好好理解這句話！）可是因爲出現了負權邊，能夠「救回來」，就像鬆弛2號節點同樣。

Bellman_Ford:

知道了Dijkstra爲何不能作負權圖以後，咱們來看看Bellman-ford算法。它的基本思想是：圖的最短路，既不會包含正環（能夠不走），更不能有負環（不然一直走就能夠無限小），所以最多通過n-1條邊（每一個節點都通過一次），bellman-ford其實是枚舉距離源點多少條邊，嘗試對每條邊鬆弛的過程。請讀者聯繫上圖，自行推導一下Bellman_ford的運行過程

樣例以下：

5 5
1 2 2
1 3 12
3 2 -13
2 4 4
3 5 2

樸素Bellman_Ford算法的時間複雜度是O(NM)；程序以下：

 

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<queue>
 4 #include<cstring>
 5 using namespace std;  6 int n,m,s,dist[100001],v[200005],w[200005],u[200005],cnt,x,y,z;  7 void bellman_ford(int s)  8 {  9     memset(dist,20,sizeof(dist)); 10     dist[s]=0; 11     for(int i=1;i<=n-1;i++) 12  { 13         for(int j=1;j<=m;j++) 14  { 15             dist[v[j]]=min(dist[v[j]],dist[u[j]]+w[j]); 16  } 17  } 18 } 19 int main() 20 { 21     scanf("%d %d",&n,&m); 22     for(int i=1;i<=m;i++) 23  { 24         scanf("%d %d %d",&u[i],&v[i],&w[i]); 25  } 26     bellman_ford(1); 27     for(int i=1;i<=n;i++) 28  { 29         cout<<dist[i]<<" "; 30  } 31     return 0; 32 }

View Code

 

 

 

 

SPFA:

SPFA是對Bellman_Ford算法的優化，它採用隊列保存即將鬆弛其餘點的節點，每次選與隊首相連的點進行鬆弛，可使用鏈式前向星（鄰接表）實現，避免了Bellman_Ford算法許多無效的鬆弛操做，平均複雜度O(KM)，K爲平均鬆弛次數，也有可能被網格圖卡回O(NM)，是不穩定的算法。程序以下：

 

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<queue>
 4 #include<cstring>
 5 using namespace std;  6 int n,m,s,dist[100001],v[200005],w[200005],nxt[200005],head[200005],cnt,x,y,z;  7 bool vis[100001];  8 void add(int a,int b,int c)  9 { 10     v[++cnt]=b; 11     w[cnt]=c; 12     nxt[cnt]=head[a]; 13     head[a]=cnt; 14 } 15 void SPFA(int s) 16 { 17     memset(dist,20,sizeof(dist)); 18        queue<int>q; 19     dist[s]=0; 20     vis[s]=1; 21  q.push(s); 22     while(!q.empty()) 23  { 24         int c=q.front(); 25  q.pop(); 26         vis[c]=0; 27         for(int i=head[c];i;i=nxt[i]) 28  { 29             int y=v[i]; 30             if(dist[y]>=dist[c]+w[i]) 31  { 32                 dist[y]=dist[c]+w[i]; 33                 if(!vis[y]) 34  { 35  q.push(y); 36                     vis[y]=1; 37  } 38  } 39  } 40  } 41 } 42 int main() 43 { 44     scanf("%d %d",&n,&m); 45     for(int i=1;i<=m;i++) 46  { 47         scanf("%d%d%d",&x,&y,&z); 48  add(x,y,z); 49  } 50     SPFA(1); 51     for(int i=1;i<=n;i++) 52  { 53         cout<<dist[i]<<" "; 54  } 55     return 0; 56 }

View Code